Uzluksiz funksiya

Uzluksiz funksiya – maʼlum shartni qanoatlantiruvchi funksiya; muhim tushunchalardan biri. f(x) funksiya £eL toʻplamda aniqlangan va xoyeYe shu toʻplamning limit nuqtasi boʻlsin. Agar limf(x) = f(x0) boʻlsa, f{x) funksiya x=x0 nuqtada uzluksiz deyiladi. Funksiyaning uzluksizligini quyidagicha aytish ham mumkin: agar ixtiyoriy ye>0 son uchun shunday 5>0 son topilsinki, bunda hx— xp | <5 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha jce Ye da hf(x)—f(x^ I <e tengsizlik bajarilsa, fi x) funksiya x=x0 nuqtada uzluksiz deyiladi. Agar fi x) funksiya Ye toʻplamning har bir nuktasida uzluksiz boʻlsa, u shu Ye toʻplamda uzluksiz deyiladi. Uzluksiz funksiyalarning xossalari: uzluksiz funksiyalarning yigʻindisi, ayirmasi, koʻpaytmasi hamda nisbati (mahraj nolga teng boʻlmagan holda) yana uzluksiz boʻladi; (fi x) (xe Rm) funksiya FczR1" toʻplamda berilgan boʻlsa, uning xoye Gʻ nuqtada uzluksizligi yuqoridagiday taʼriflanadi.

Birinchi taʻrif

Agar $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$ boʻlsa, $f(x)$ funksiya $x_{0}$ nuqtada uzluksiz deyiladi.

Demak, $f(x)$ funksiyaning $x_{0}$ nuqtada uzluksiz ushbu 1) $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=b$ ning mavjudligi, 2) $b=f(x_{0})$ boʻlishi shartlarining bajarilishi bilan ifodalanadi.

Misollar

1. Ushbu $f(x)=x^{4}+x^{2}+1$ funksiya $\forall x_{0}\in R$ nuqtada uzluksiz boʻladi, chunki $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}(x^{4}+x^{2}+1)=x_{0}^{4}+x_{0}^{2}+1=f(x_{0})$
2. Ushbu $f(x)=(sinx)^{2}={\begin{cases}1,agar&x\neq 0&bo'lsa\\0,agar&x=0&bo'lsa\end{cases}}$ funksiyani qaraylik. Ravshanki, $\forall x_{0}\in R$ nuqtada $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=1$ boʻladi. Demak, qaralyotgan funksiya $\forall x_{0}\in R$, $x_{0}\neq 0$ nuqtada uzluksiz boʻladi. Ammo $f(0)=0$ boʻlgani sababli $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(0)$ boʻladi. Demak, $f(x)$ funksiya $x_{0}=0$ nuqtada uzluksiz boʻlmaydi. Funksiya limitning Geyne va Koshi taʻriflariga binoan funksiyaning $x_{0}$ nuqtadagi uzluksizligini quyidagicha taʻriflash mumkin.

Ikkinchi taʻrif

Agar $n\rightarrow \infty$ da $x_{n}\rightarrow x_{0}$ $(x_{n}\in X,n=1,2...)$ boʻladigan ixtiyoriy $\{x_{n}\}$ ketma-ketlik uchun $n\rightarrow \infty$ da $f(x_{n})\rightarrow f(x_{0})$ boʻlsa, $f(x)$ funksiya $x_{0}$ nuqtada uzluksiz deyiladi.

Uchinchi taʻrif

Agar $\forall \epsilon >0$ son olinganda ham shunday $\delta =\delta (\epsilon )>0$ son topilsaki, $\forall x\in X\bigcap U_{\delta }(x_{0})$ uchun $\mid f(x)-f(x_{0})\mid <\epsilon$ tengsizlik bajarilsa, $f(x)$ funksiya $x_{0}$ nuqtada uzluksiz deyiladi.

Odatda, $x-x_{0}$ ayirma argument orttirmasi, $f(x)-f(x_{0})$ esa funksiya orttirmasi deyilib, ular mmos ravishda $\bigtriangleup x$ va $\bigtriangleup f$ kabi belgilanadi: $\bigtriangleup x=x-x_{0}$, $\bigtriangleup f=f(x)-f(x_{0})=f(x_{0}+\bigtriangleup x)-f(x_{0})$.

Unda funksiya uzluksizligining birinchi taʻrifidagi munosabat ushbu $\textstyle \lim _{\bigtriangleup \to 0}\displaystyle \bigtriangleup f=0$ koʻrinishga keladi.

Demak, munosabatni funksiyaning $x_{0}$ nuqtada uzluksizligi taʻrifi sifatida qarash mumkin.

Aytaylik, $f(x)$ funksiya $X\subset R$ toʻplamda berilgan boʻlib, $x_{0}\in X$ nuqta X toʻplamning oʻng (chap) limit nuqtasi boʻlsin.

Toʻrtinchi taʻrif

Agar $\lim _{x\to x_{0}+0}f(x)=f(x_{0})$ $(\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0}))$ boʻlsa, $f(x)$ funksiya $x_{0}$ nuqtada oʻngdan (chapdan) uzluksiz deyiladi.

Demak, $f(x)$ funksiya $x_{0}$ nuqtada oʻngdan (chapdan) uzluksiz boʻlganda funksiyaning oʻng (chap) limiti uning $x_{0}$ nuqtadagi qiymatiga teng boʻladi: $f(x_{0}+0)=f(x_{0})$ $(f(x_{0}-0)=f(x_{0}))$.

Keltirilgan taʻriflardan, $f(x)$ funksiya $x_{0}$ nuqtada ham boʻlganda, ham chapdan bir vaqtda uzluksiz boʻlsa, funksiya shu nuqtada uzluksiz boʻlishini topamiz.

Umuman, $f(x)$ funksiyaning $x_{0}$ nuqtada uzluksiz boʻlishi, $\forall \epsilon >0$ berilganda ham unga koʻra shunday $\delta =\delta (\varepsilon )>0$ topilib, $\forall x\in \cup _{\delta }(x_{0})\subset X\Rightarrow f(x)\in \cup _{\varepsilon }(f(x_{0}))$ boʻlishini bildiradi.

Beshinchi taʻrif

Agar $f(x)$ funksiya $X\subset R$ toʻplamining har bir nuqtasida uzluksiz boʻlsa, $f(x)$ funksiya $X$ toʻplamda uzluksiz deyiladi.

Oltinchi taʻrif

$X\subset R$ toʻplamda uzluksiz boʻlgan funksiyalardan iborat toʻplam uzluksiz funksiyalar toʻplami deyiladi va $C(X)$ kabi belgilanadi.

Masalan, $f(x)\in C[a,b]$ boʻlishi, $f(x)$ funksiyaning $[a,b]$ segmentining har bir nuqtasida uzluksiz, yaʻni $f(x)$ funksiya $(a,b)$ intervalning har bir nuqtasida uzluksiz, $a$ nuqtadan oʻngdan, $b$ nuqtadan esa chapdan uzluksiz boʻlishini bildiradi.

Funksiyaning uzulishi

Aytaylik, $f(x)$ funksiya $(a,b)$ da $(-\infty \leq a<b\leq +\infty )$ berilgan boʻlib, $x_{0}\in (a,b)$ boʻlsin.

Maʻlumki, $f(x)$ funksiyaning $x_{0}$ nuqtadagi oʻng va chap limitlari $f(x_{0}+0)$, $f(x_{0}-0)$ mavjud boʻlib, $f(x_{0}-0)=f(x_{0})=f(x_{0}+0)$ tenglik oʻrinli boʻlsa, u holda $f(x)$ funksiya $x_{0}$ nuqta $f(x)$ funksiyaning uzulish nuqtasi deyiladi.

Yettinchi taʻrif

Agar limitlar mavjud va chekli boʻlib, tengliklarning birortasi oʻrinli boʻlmasa, $x_{0}$ nuqta $f(x)$ funksiyaning birinchi tur uzulish nuqtasi deyiladi. Bunda $f(x_{0}+0)-f(x_{0}-0)$ ayirma funksiyning $x_{0}$ nuqtadagi sakrashi deyiladi.

Masalan, $f(x)=[x]$ funksiya $(p\in Z)$ nuqtada birinchi tur uzilishiga ega, chunki $f(p+0)=p$, boʻlib boʻladi. Agar hech boʻlaganda limitlarning birortasi mavjud boʻlmasa yoki cheksiz boʻlsa, $x_{0}$ nuqta $f(x)$ funksiyaning ikkinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi.

Masalan, ushbu $f(x)={\begin{cases}sin{\frac {1}{x}},agar&x\neq 0&bo'lsa\\0,agar&x=0&bo'lsa\end{cases}}$ funksiya $x=0$ nuqtada ikkinchi tur uzilishiga ega boʻladi, chunki bu funksiya nuqtadagi oʻng va chap limitlari mavjud emas.

Murakkab funksiyaning uzluksizligi

Faraz qilaylik, funksiya toʻplamda, funksiya esa $Y_{f}$ toʻplamda aniqlangan boʻlib, ular yordamida $u=(f(x))$ murakkab funksiya tuzilgan.