Matematik mantiq
| Jami fanlar majmuasi |
| Fan |
|---|
| Fan |
Matematik mantiq matematikaning bir boʻlimi hisoblanib, unga rasmiy mantiqni qoʻllaydi.
Mantiq jarayonini turli matematik belgilar bilan ifodalashga intilish Arastu asarlarida ham koʻzga tashlanadi. XVI–XVII asrlarga kelib, mexanika va matematika fanining rivojlanishi bilan matematik metodlarni mantiqqa tatbiq etish imkoniyati kengaya bordi. Nemis faylasufi Leybnits har xil masalalarni yechishga imkon beruvchi mantiqiy-matematik metod yaratishga intilib, mantiqni matematiklashtirishga asos soldi. Mantiqiy jarayonni matematik usullar yordamida ifodalash asosan XIX asrda rivojlana boshladi.
Mulohaza va uning qiymati. Matematik mantiqning boshlangʻich tushunchalaridan biri mulohaza tushunchasidir. „Mulohaza“ deganda biz rost yoki yolgʻonligi haqida fikr yuritish mumkin boʻlgan darak gapni tushunamiz. Har qanday mulohaza yo rost, yoki yolgʻon boʻladi. Hech bir mulohaza bir vaqtning oʻzida ham rost, ham yolgʻon boʻla olmaydi. Masalan, „2 + 2 = 4“, „2 + 2 = 5“, „5 son tub son“, „1 son tub son“, „oʻgʻilning yoshi otasining yoshidan katta“ mulohazalarining birinchisi rost, ikkinchisi yolgʻon, uchinchisi rost, toʻrtinchisi va beshinchisi esa yolgʻon mulohazalardir.
Soʻroq va undov gaplar mulohaza boʻla olmaydi. Taʼriflar ham mulohaza boʻla olmaydi. Masalan, „2 ga boʻlinuvchi son juft son deyiladi“ degan taʼrif mulohaza boʻla olmaydi. Ammo „agar butun son 2 ga boʻlinsa, u holda bu son juft son boʻladi“ degan darak gap mulohaza boʻladi. Bu mulohaza rostdir.
Mulohazaning qiymati deganda biz uning rost yoki yolgʻonligini tushunamiz. Mulohazalar odatda lotin alifbosining bosh harflari (A, B, C, …, X, Y, Z) bilan, ularning qiymatlari esa R („rost“) va Y („yolgʻon“) harflari bilan belgilanadi. Shuningdek, ularni raqamlar bilan ham belgilash qabul qilingan: rost mulohaza 1, yolgʻon mulohaza esa 0 bilan belgilanadi.
Qismlarga ajratilmaydigan mulohazalar elementar mulohazalar deb ataladi. Elementar mulohazalar yordamida undan murakkabroq mulohazalar tuzish mumkin.
Agar mulohazalar oʻrtasiga mantiq amallaridan biri qoʻyilsa, yangi mulohaza hosil boʻlib, bunday mulohazaga qoʻshma mulohaza deyiladi. Mulohazalar algebrasida rost yoki yolgʻon tushunchalari asosiy tushunchalardan hisoblanadi. Qoʻshma mulohazaning rost yoki yolgʻon ekanligini taʼrifdan kelib chiqqan holda jadval asosida koʻrish qulay boʻladi. Bunday jadvalga rostlik jadvali ham deyiladi.
Quyida biz berilgan mulohazalardan mantiq amallari deb ataladigan amallar yordamida boshqa mulohazalar hosil qilish usullarini koʻrib chiqamiz.
Mantiqiy amallar va formulalar
Mulohazalar ustida quyidagi mantiqiy amallar mavjud: inkor, konyunksiya, dizyunksiya, implikatsiya va ekvivalensiya. Ularning taʼrifi hamda rostlik jadvali quyidagicha boʻladi:[1]
Inkor. Bizga biror A mulohaza berilgan boʻlsin.
Taʼrif. Berilgan A mulohaza rost boʻlganda yolgʻon, yolgʻon boʻlganda rost boʻladigan mulohaza A mulohazaning inkori deyiladi va ¬A orqali belgilanadi.
¬A yozuvi „A emas“ yoki „A boʻlishi notoʻgʻri“ deb oʻqiladi. Inkor amali ushbu rostlik jadvali bilan aniqlanadi:
| A | ¬A |
|---|---|
| R (1) | Y (0) |
| Y (0) | R (1) |
Masalan, A mulohaza — „7 tub son“ degan rost mulohaza boʻlsin; u holda ¬A — „7 tub son emas“ degan yolgʻon mulohazadan iborat boʻladi.
Konyunksiya.
Taʼrif. A va B mulohazalarning ikkalasi rost boʻlganda rost boʻladigan va „va“ bogʻlovchisi bilan bogʻlanadigan qoʻshma mulohaza A va B mulohazalarning konyunksiyasi deb ataladi hamda A∧B koʻrinishida belgilanadi.
Bu yerdagi A va B mulohazalar mos ravishda A∧B konʼyunksiyaning birinchi va ikkinchi hadlari, „∧“ belgisi esa konyunksiya amali belgisi deyiladi. A∧B yozuvi „A va B“ deb oʻqiladi. Konyunksiya uchun rostlik jadvali quyidagicha boʻladi:
| A | B | A∧B |
|---|---|---|
| R (1) | R (1) | R (1) |
| R (1) | Y (0) | Y (0) |
| Y (0) | R (1) | Y (0) |
| Y (0) | Y (0) | Y (0) |
Konyunksiya soʻzi — „bogʻlayapman“ degan maʼnoni anglatadi.
Masalan, A: „Toshkent — Oʻzbekistonning poytaxti“, B: „Termez shahri Fargʻona vodiysida joylashgan“, C: „Biz mustaqil yurt farzandlarimiz“ degan uchta mulohazani qaraymiz. Taʼrifga koʻra, ravshanki, A∧B mulohaza yolgʻon (chunki A rost, B yolgʻon), A∧C rost (chunki A rost, C rost), B∧C yolgʻon (chunki B yolgʻon, C rost).
Dizyunksiya.
Taʼrif. A va B mulohazalardan kamida bittasi rost boʻlganda rost boʻladigan va „yoki“ bogʻlovchisi bilan bogʻlanadigan qoʻshma mulohaza A va B mulohazalarning dizyunksiyasi deb ataladi hamda A∨B koʻrinishida belgilanadi.
A∨B yozuvi „A yoki B“ deb oʻqiladi, „∨“ belgisi diz’yunksiya belgisi deyiladi. A va B lar dizyunksiyaning mos ravishda birinchi va ikkinchi hadlari deb ataladi.
Dizyunksiyaning rostlik jadvali quyidagicha boʻladi:
| A | B | A∨B |
|---|---|---|
| R (1) | R (1) | R (1) |
| R (1) | Y (0) | R (1) |
| Y (0) | R (1) | R (1) |
| Y (0) | Y (0) | Y (0) |
Dizyunksiya soʻzi — „farqlayapman“ degan maʼnoni anglatadi.
Masalan, 1) „Yozda toqqa chiqamiz yoki dengizga boramiz“ dizyunksiyasini qaraymiz. Bu mulohaza quyidagi hollarda rost boʻladi: biz toqqa chiqamiz, ammo dengizga bormaymiz; dengizga boramiz, lekin toqqa chiqmaymiz; biz toqqa ham chiqamiz, dengizga ham boramiz. Yangi mulohaza yolgʻon boʻladi, agar biz toqqa ham chiqmasak, dengizga ham bormasak.
2) (5 > 3) ∨ (2 > 7) mulohazaning rost yoki yolgʻonligini aniqlaylik. Bu dizyunksiya rost, chunki (5 > 3) rost mulohaza va (2 > 7) yolgʻon mulohazadan tashkil topgan.
3) (3 > 5) ∨ (2 > 7) — mulohaza yolgʻon, chunki (3 > 5) yolgʻon, (2 > 7) yolgʻon.
Implikatsiya.
Taʼrif. A mulohaza rost, B mulohaza yolgʻon boʻlgandagina yolgʻon, qolgan hollarda rost boʻladigan mulohazaga A hamda B mulohazalarning implikatsiyasi deyiladi va A→B koʻrinishida belgilanadi.
„→“ belgisi implikatsiya belgisi deb ataladi. A→B yozuvi „agar A boʻlsa, u holda B boʻladi“ yoki „A mulohazadan B mulohaza kelib chiqadi“ degan maʼnolarni anglatadi. Implikatsiya uchun rostlik jadvali quyidagicha boʻladi:
| A | B | A→B |
|---|---|---|
| R (1) | R (1) | R (1) |
| R (1) | Y (0) | Y (0) |
| Y (0) | R (1) | R (1) |
| Y (0) | Y (0) | R (1) |
Implikatsiya soʻzi — „mahkam bogʻlayapman“ degan maʼnoni anglatadi.
Masalan, 1) „Agar 72 soni 9 ga karrali boʻlsa, u holda bu son 3 ga ham karrali boʻladi“. Bu rost implikatsiya.
2) „Agar x = 2 boʻlsa, u holda x² = 9 boʻladi“ implikatsiyasi yolgʻon, chunki shart (x = 2) rost, lekin xulosa (x² = 9) yolgʻon.
Ekvivalensiya.
Taʼrif. A va B mulohazalar bir vaqtda rost yoki bir vaqtda yolgʻon boʻlganda rost boʻladigan mulohaza A va B mulohazalarning ekvivalensiyasi deyiladi va A↔B koʻrinishida belgilanadi.
A↔B yozuvi „A faqat va faqat, qachonki B“, yoki „A ekvivalent B“, yoki „B uchun A zarur va yetarli“ deb oʻqiladi. Ekvivalensiyaning rostlik jadvali quyidagicha boʻladi:
| A | B | A↔B |
|---|---|---|
| R (1) | R (1) | R (1) |
| R (1) | Y (0) | Y (0) |
| Y (0) | R (1) | Y (0) |
| Y (0) | Y (0) | R (1) |
Masalan, A: „972 soni 9 ga karrali“, B: „972 sonining raqamlari yigʻindisi 9 ga karrali“ mulohazalari berilgan boʻlsin. U holda A va B mulohazalarning ekvivalensiyasi quyidagicha boʻladi: „972 soni 9 ga karrali boʻladi, faqat va faqat shu holda, qachonki bu sonning raqamlari yigʻindisi 9 ga karrali boʻlsa“. Bu ekvivalensiya rostdir.
Matematik mulohazalarni yuqoridagi belgilar yordamida ifoda etishga doir misollar keltiramiz:
1-misol. Agar x > 0 va y > 0 boʻlsa, x + y > 0 boʻladi:
- (x > 0) ∧ (y > 0) → (x + y > 0)
2-misol. x > 0 boʻlsa, x² > 0 boʻladi:
- x > 0 → x² > 0
3-misol. x > 0 yoki y > 0 boʻlsa, x + y > 0 boʻladi va aksincha, x + y > 0 boʻlsa, x > 0 yoki y > 0 boʻladi:
- (x > 0) ∨ (y > 0) ↔ (x + y > 0)
4-misol. x > 0 va y > 0 boʻlsa, xy > 0 boʻladi:
- (x > 0) ∧ (y > 0) → (xy > 0)
5-misol. Ixtiyoriy x haqiqiy son uchun x² ≥ 0:
- ∀x ∈ ℝ : x² ≥ 0
6-misol. Ixtiyoriy n natural son uchun shunday m natural son mavjudki, m > n boʻladi:
- ∀n ∈ ℕ, ∃m ∈ ℕ : m > n
Mantiqiy qonunlarga amal qilish toʻgʻri, tushunarli, aniq, izchil, ziddiyatsiz va asoslangan fikr yuritishga imkon beradi. Aniqlik, izchillik, ziddiyatlardan xoli boʻlish va isbotlilik toʻgʻri tafakkurlashning asosiy belgilaridir.
Mulohazalar hisobi
„Mulohaza“ va „isbot“ soʻzlarining kundalik tildagi mazmuni anchayin noaniq. Shu sababli, bu tushunchalarni aniq taʼriflash uchun maxsus formal (yaʼni formulalarga tayangan) tildan foydalaniladi.
Formal tilda mantiqiy bogʻlovchilar deb ataladigan maxsus belgilardan foydalaniladi: ∧ — mantiqiy koʻpaytirish (konʼyunksiya), ∨ — mantiqiy qoʻshish (diz’yunksiya) amallari deb yuritiladi. A∧B mulohazani „A va B“; A∨B mulohazani „A yoki B“; A→B mulohazani „A mulohazadan B mulohaza kelib chiqadi“ yoki „agar A boʻlsa, u holda B boʻladi“; A↔B mulohazani „A boʻladi, faqat va faqat shu holdaki, agar B boʻlsa“ deb oʻqiymiz. Mulohazalar toʻplamini M harfi bilan belgilaylik. U holda M toʻplam, unda bajariladigan barcha ¬, ∧, ∨, →, ↔ amallari bilan birgalikda mulohazalar algebrasi deb yuritiladi. Mulohazalar algebrasini qisqacha MA orqali belgilaymiz. M toʻplamda bajariladigan amallar bajarilish tartibi quyidagicha: avval inkor amali bajariladi; agar inkor amali qavslardan tashqarida boʻlsa, u holda qavs ichidagi amallar bajariladi. Keyin konʼyunksiya, undan soʻng diz’yunksiya, implikatsiya va nihoyat ekvivalensiya amallari bajariladi.
Taʼrif. A, B, C, … mulohazalarni inkor, diz’yunksiya, konʼyunksiya, implikatsiya va ekvivalensiya kabi mantiqiy bogʻlovchilar vositasi bilan maʼlum tartibda birlashtirib hosil etilgan murakkab mulohaza mantiqiy formula deyiladi.
Mantiqiy formulalar tabiiy tildagi mulohazalarning matematik modeli boʻladi. Mulohazalar hisobida mantiqiy formulalar rostlik jadvallari yordamida izohlanadi. Bunday jadvallar mantiqiy bogʻlovchi orqali tuzilgan murakkab mulohazaning rost (1) yoki yolgʻon (0) ligini tashkil etuvchi mulohazalar rostligiga qarab aniqlanadi. Yuqoridagi amallarning rostlik jadvallaridan foydalanib, yanada murakkabroq mulohazalar uchun rostlik jadvali tuzish mumkin.
Masalan, (A→B) ↔ (¬A∨B) mulohazaning rostlik jadvalini tuzaylik:
| A | B | A→B | ¬A | ¬A∨B | (A→B) ↔ (¬A∨B) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Jadvalni yakunlab, qaralayotgan A va B mulohazalar rostligidan qatʼi nazar (A→B) ↔ (¬A∨B) mulohaza doim rost boʻlishini koʻramiz. Bunday doim rost boʻladigan formulalar tavtologiya deb ataladi.
Asosiy mantiqiy qonunlar
1. A∨¬A — uchinchisini inkor qilish qonuni.
Bu qonun quyidagicha ifodalanadi: bir-biriga zid boʻlgan ikki fikrdan biri hamisha toʻgʻri (rost) boʻlib, ikkinchisi xatodir; uchinchisi boʻlishi mumkin emas.
Masalan, bir vaqtning oʻzida, bir xil sharoitda inson yo axloqli, yo axloqsiz boʻladi.
2. A∧¬A = 0 — ziddiyatsizlik qonuni.
Bu qonun quyidagicha ifodalanadi: buyum va hodisalar bir vaqtda, bir xil sharoitda biror xususiyatga ham ega boʻlishi, ham ega boʻlmasligi mumkin emas.
Masalan, bir vaqtning oʻzida, bir xil sharoitda inson ham axloqli, ham axloqsiz boʻlishi mumkin emas.
3. ¬(¬A) ↔ A — qoʻsh inkor qonuni.
„Bu kishi ilgʻor emas degan gap toʻgʻri emas“ degan fikr „bu kishi ilgʻor“ degan fikrga teng kuchli.
4. (A→B) ↔ (¬B→¬A) — kontrapozitsiya qonuni.
Bu qonun inkor amali yordamida tezis (isbotlanishi kerak boʻlgan fikr) va asosni (tezisni isboti uchun keltirilgan dalillar) oʻrinlarini almashtirishga imkon yaratadi.
Masalan, „Agar shaxs chuqur bilimga ega boʻlsa, u holda u komil inson boʻladi“ degan mulohaza „Komil inson boʻlmagan shaxs chuqur bilimga ega boʻlmaydi“ degan mulohazaga teng kuchli.
5. ¬(A∧B) ↔ (¬A∨¬B);
¬(A∨B) ↔ (¬A∧¬B) — De Morgan qonunlari.[2]
De Morgan qonunlari inkor amali yordamida konʼyunksiya va dizyunksiya amallarini bir-biri bilan almashtirishga imkon yaratadi.
Masalan, 1) „Halol va vijdonli inson axloqli boʻladi“ mulohazaning inkori „Halol boʻlmagan yoki vijdonli boʻlmagan inson axloqsiz boʻladi“ mulohazaga teng kuchli.
2) „Men darsdan soʻng yo kutubxonaga, yo doʻstimnikiga bordim“ mulohazaning inkori „Men darsdan soʻng kutubxonaga ham, doʻstimnikiga ham bormadim“ mulohazaga teng kuchli.
6. (A→B) ↔ (¬A∨B).
Masalan, „Agar boʻsh vaqtim boʻlsa, unda televizor koʻraman“ mulohaza „Yoki boʻsh vaqtim boʻlmaydi, yoki televizor koʻraman“ mulohazaga teng kuchli.
7. A∧B ↔ B∧A; A∨B ↔ B∨A — kommutativlik qonunlari.
Kommutativlik qonunlari oʻz-oʻzidan ravshan boʻlsa ham, ularni oʻylamasdan qoʻllashda muammolarga duch boʻlish mumkin. Bu holatga Kleen[3] misolini keltiramiz:
A: „Maryam turmushga chiqdi“; B: „Maryam farzand koʻrdi“.
Bu holda A∧B va B∧A formulalar mantiqan teng boʻlsa-da, mazmunan bir xil talqinga ega boʻlmasligi mumkin, chunki yuqoridagi mulohazalarda koʻrinmas holda vaqt parametri ishtirok etadi.
8. (A∧B)∧C ↔ A∧(B∧C); (A∨B)∨C ↔ A∨(B∨C) — assotsiativlik qonunlari.
9. A∧(B∨C) ↔ (A∧B)∨(A∧C); A∨(B∧C) ↔ (A∨B)∧(A∨C) — distributivlik qonunlari.
10. A∧A ↔ A; A∨A ↔ A — idempotentlik qonunlari.