Limit boʻyicha taqqoslash alomati (testi)

Matematikada limit bo'yicha taqqoslash alomati (testi) (taqqoslash alomatidan farqli o'laroq) cheksiz qatorlarning yaqinlashishini tekshirish usuli hisoblanadi.

Sharti

Aytaylik, bizda ikkita $\Sigma _{n}a_{n}$ va $\Sigma _{n}b_{n}$ qatorlar berilgan bo'lib, barcha $n$ lar uchun $a_{n}\geq 0,b_{n}>0$ munosabat o'rinli bo'lsin. Agar $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c$ munosabat $0<c<\infty$ uchun o'rinli bo'lsa, u holda har ikkala qator yaqinlashadi yoki har ikkala qator uzoqlashadi.

Isbot

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c$ bo'lganligi uchun barcha $\varepsilon >0$ sonlar uchun shunday $n_{0}$ musbat butun son mavjudki, bunda barcha $n\geq n_{0}$ lar uchun $\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c\right|<\varepsilon$ munosabat, yoki shunga ekvivalent ravishda

$-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c<\varepsilon$

$c-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<c+\varepsilon$

$(c-\varepsilon )b_{n}<a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}$

munosabatlar o'rinli.

$c>0$ bo'lganligi uchun $\varepsilon$ ni shunday yetarlicha kichik tanlashimiz mumkinki, bunda $c-\varepsilon$ musbat bo'ladi. Shunday qilib, $b_{n}<{\frac {1}{c-\varepsilon }}a_{n}$ va taqqoslash alomatiga ko'ra, agar $\sum _{n}a_{n}$ yaqinlashsa, u holda $\sum _{n}b_{n}$ ham yaqinlashadi.

Xuddi shunday, $a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}$ munosabat o'rinli va taqqoslash testiga ko'ra$\sum _{n}a_{n}$ uzoqlashsa, u holda $\sum _{n}b_{n}$ ham uzoqlashadi.

Ya'ni, har ikkala qator yaqinlashadi yoki har ikkala qator uzoqlashadi.

Misol

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}$ qatorni yaqinlashishga tekshiramiz. Buning uchun uni yaqinlashuvchi bo'lgan $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$qator bilan taqqoslaymiz.

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}{\frac {n^{2}}{1}}=1>0$ ekanligidan, berilgan qatorning ham yaqinlashuvchi bo'lishi kelib chiqadi.

Bir tomonlama versiya: bir tomonlama taqqoslash alomati

Bir tomonlama taqqoslash alomati (testi) yuqori limitni qo'llagan holda keltirilishi mumkin. Barcha $n$ lar uchun $a_{n},b_{n}\geq 0$ bo'lsin. U holda agar $\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c$ munosabat $0\leq c<\infty$ uchun o'rinli bo'lsa va $\Sigma _{n}b_{n}$ qator yaqinlashuvchi bo'lsa, u holda zaruriy ravishda $\Sigma _{n}a_{n}$ qator ham yaqinlashadi.

Misol

Barcha natural $n$ lar uchun $a_{n}={\frac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}$ va $b_{n}={\frac {1}{n^{2}}}$ bo'lsin. Ushbu$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }(1-(-1)^{n})$ limit mavjud bo'lmaganligi uchun biz odatiy taqqoslash alomatini qo'llay olmaymiz. Ammo, $\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\limsup _{n\to \infty }(1-(-1)^{n})=2\in [0,\infty )$ munosabatdan va $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ ning yaqinlashuvchi ekanligidan, bir tomonlama taqqoslash alomatiga ko'ra $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}$ qator yaqinlashuvchi bo'ladi.

Bir tomonlama taqqoslash alomatining teskarisi

Barcha $n$ lar uchun $a_{n},b_{n}\geq 0$ bo'lsin. Agar $\Sigma _{n}a_{n}$ qator uzoqlashuvchi bo'lib, $\Sigma _{n}b_{n}$ qator yaqinlashuvchi bo'lsa, u holda zaruriy ravishda $\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\infty$, qaysiki, $\liminf _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=0$ munosabat o'rinli bo'ladi. Bu yerda asosiy mazmun, qaysidir ma'noda, $a_{n}$ larning $b_{n}$ lardan kattaroq ekanligidadir.

Misol

$D=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}$ birlik diskda analitik bo'lgan$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ berilgan bo'lib, u chekli yuzali tasvirga (aksga) ega bo'lsin. Parseval formulasi bo'yicha $f$ ning tasviri(aks)ning yuzasi $\sum _{n=1}^{\infty }n|a_{n}|^{2}$ ga teng. Bundan tashqari, $\sum _{n=1}^{\infty }1/n$ qator uzoqlashuvchi. Shuning uchun, taqqoslash alomatining teskarisi bo'yicha,$\liminf _{n\to \infty }{\frac {n|a_{n}|^{2}}{1/n}}=\liminf _{n\to \infty }(n|a_{n}|)^{2}=0$, qaysiki, $\liminf _{n\to \infty }n|a_{n}|=0$.

Yana qarang

• Yaqinlashish alomatlari
• Taqqoslash alomati (testi)

Qo'shimcha manbalar

• Rinaldo B. Schinazi: From Calculus to Analysis. Springer, 2011, ISBN 9780817682897, pp. 50
• Michele Longo and Vincenzo Valori: The Comparison Test: Not Just for Nonnegative Series. Mathematics Magazine, Vol. 79, No. 3 (Jun., 2006), pp. 205–210 (JSTOR)
• J. Marshall Ash: The Limit Comparison Test Needs Positivity. Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 5 (December 2012), pp. 374–375 (JSTOR)

Havolalar

• Pauls Online Notes on Comparison Test