Elementar funksiyalar

Elementar funksiyalar — koʻphadlar, ratsional, koʻrsatkichli, darajali, logarifmik, trigonometrik, teskari trigonometrik funksiyalar, shuningdek, bu funksiyalardan toʻrt arifmetik amal va chekli marta qoʻllangan superpozitsiyalar yordamida hosil qilinadigan funksiyalarni oʻz ichiga olgan funksiyalar sinfi.

Elementar funksiyalar sinfi yaxshi oʻrganilgan va u amaliy matematikada koʻp qoʻllanadi. Elementar funksiyalar ning hosilasi hamisha Elementar funksiyalar boʻladi, lekin Elementar funksiyalardan olingan integral Elementar funksiyalar boʻlmasligi ham mumkin.

Butun ratsional funksiyalar

Ushbu$$y=a_{0}+a_{1}x+a_{2}{x}^{2}+...a_{n-1}x^{n-1}+a_{n}x^{n}$$koʻrinishdagi funksiya butun ratsional funksiya deyiladi. Bunda $a_{0},a_{1},...,a_{n}$ - oʻzgarmas sonlar, $n\in N$. Bu funksiya $R=(-\infty ,+\infty )$ da aniqlangan. Butun ratsional funksiyaning baʻzi xususiy hollari:

Chiziqli funksiya

Bu funksiya $y=ax+b$ $(a\neq 0)$ koʻrinishga ega, bunda a, b, c - oʻzgarmas sonlar.

Chiziqli funksiya $(-\infty ,+\infty )$ da aiqlangan $a>0$ boʻlganda oʻsuvchi, boʻlganda kamayuvchi: grafigi tekislikdagi toʻgʻri chiziqdan iborat.

Kvadrat funksiya

Parabolaning tekislikda joylashishi $a$ hamda $D=b^{2}-4ac$ larning ishorasiga bogʻliq boʻladi. Masalan, $a>0$, $D>0$ va $a<0$, $D<0$ boʻlganda uning grafigi shunday boʻladi.

Bu funksiya $y=ax^{2}+bx+c$ $(a\neq 0)$ koʻrinishga ega, bunda a, b, c - oʻzgarmas sonlar.

Kvadrat funktsiya R da aniqlangan boʼlib, uning grafigi parabolani ifodalaydi.

Ravshanki $y=ax^{2}+bx+c=a{\Bigl (}x+{\frac {b}{2a}}{\Bigr )}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}$

Kasr ratsional funksiyalar

Ushbu $y={\frac {a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}}{b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+...+b_{m}x^{m}}}$ koʻrinishdagi funksiya kasr ratsional funksiya deyiladi. Bunda $a_{0},a_{1},...,a_{n}$ va $b_{0},b_{1},...,b_{m}$ lar oʻzgarmas sonlar $n\in N$, $m\in N$. Bu funksiya $X=(-\infty ,+\infty )\ \{x\mid b_{0}+b_{1}x+...+b_{m}x^{m}=0$ toʻplamda aniqlangan.

Kasr ratsional funksiyaning baʻzi xususiy hollari:

Teskari proporsional bogʻlanish

Bu funksiya $X=(-\infty ,0)\bigcup (0,+\infty )=R\backslash \{0\}$ toʻplamda aniqlangan, toq funksiya, $a$ ning ishorasiga qarab funksiya $(-\infty ,0)$ va $(0,+\infty )$ oraliqlarning har bir kamayuvchi yoki oʻsuvchi boʻladi.

U $y={\frac {a}{x}}$ ($x\neq 0$ $a=const$) koʻrinishga ega.

Kasr chiziqli funksiya

U ushbu $y={\frac {ax+b}{cx+d}}$ koʻrinishga ega. Bu funksiya $X=R\backslash \{-{\frac {d}{c}}\}$ $(c\neq 0)$ toʻplamda aniqlangan:

Ravshanki, $y={\frac {ax+b}{cx+d}}={\frac {bc-ad}{c^{2}}}*{\frac {1}{x+{\frac {d}{c}}}}+{\frac {a}{c}}$. Demak, $y={\frac {a}{x+\beta }}+\gamma$, ${\Bigr (}a={\frac {bc-ad}{c^{2}}},\beta ={\frac {d}{c}},\gamma ={\frac {a}{c}}{\Bigr )}$. Uning grafigini $y={\frac {a}{x}}$ funksiya grafigi yordamida chizish mumkin.

Darajali funksiya

Ushbu $y=x^{a}$, $(x\geq 0)$ koʻrinishdagi funksiya darajali funksiya deyiladi.

Bu funksiyaning aniqlanish toʻplami $a$ ga bogʻliq. Darajali funksiya $a>0$, boʻlganda $(0,+\infty )$ da oʻsuvchi, $a<0$ boʻlganda kamayuvchi boʻladi. $y=x^{a}$ funksiya grafigi tekislikning (0,0) va (1,1) nuqtalardan oʻtadi.

Koʻrsatkichli funksiya

Ushbu $y=a^{x}$ koʻrinishdagi funksiya koʻrsatkichli funksiya deyiladi. Bunda $a\in R$, $a>0$, $a\neq 1$. Koʻrsatkichli funksiya $(-\infty ,+\infty )$ aniqlangan, $\forall x\in R$ da $a^{x}>0$; $a>0$ boʻlganda oʻsuvchi; $0<a<1$ boʻlganda kamayuvchi boʻladi.

Xususan, $a=e$ boʻlsa, matematikada muhim roʻl oʻynaydigan $y=e^{x}$ funksiya hosil bovladi.

Koʻrsatkichli funksiyaning grafigi $Ox$ oʻqidan yuqoridan joylashgan va tekislikning (0,1) nuqtasidan oʻtadi.

Logarifimik funksiya

Ushbu $y=\log _{y}x$ koʻrinishdagi funksiya logarifmik funksiya deyiladi. Bunda $a>0$, $a\neq 1$.

Logarifimlik funksiya $(0,+\infty )$ da aniqlangan, $y=a^{x}$ funksiyaga nisbatan teskari; $a>1$ boʻlganda oʻsuvchi, $0<a<1$ boʻlganda kamayuvchi boʻlad.

Logarifmik funksiyaning grafigi $Oy$ oʻqining oʻng tomonida joylashgan va tekislikning (0,1) nuqtasidan oʻtadi.

Trigonometrik funksiyalar

Ushbu $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=tgx$, $y=ctgx$, $y=secx$, $y=cosecx$ funksiyalar trigonometrik funksiyalar deyiladi.

$y=\sin x$, $y=\cos x$ funksiyalar $R=(-\infty ,+\infty )$ da aniqlangan, $2\pi$ davrli funksiyalar $\forall x\in R$ da $-1\leq sinx\leq 1$, $-1\leq cosx\leq 1$ boʻladi. Ushbu $y=tgx$ funksiya $X=R\backslash \{x\in R|x=(2k+1){\frac {\pi }{2}};k=0,\pm 1,\pm 2,...\}$ toʻplamda aniqlangan $\pi$ davrli funksiya $ctgx$, $secx$, $cosecx$ funksiyalar $sinx$, $cosx$, $tgx$ lar orqali quyidagicha ifodalaydi: $ctgx={\frac {1}{tgx}},secx={\frac {1}{cosx}},cosecx={\frac {1}{sinx}}$.

Giperbolik funksiyalar

Koʻrsatkichli $y=e^{x}$ funksiya yordamida tuzilgan ushbu ${\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}},{\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}},{\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}},{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}$ funksiyalar giperbolik (mos ravishda giperbolik sinus, giperbolik kosinus, giperbolik tangens, giperbolik katangens) funksiyalar deyiladi va ular quyidagicha $shx={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}},chx={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}},thx={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}},cthx={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}$ belgilanadi.

Teskari trigonometrik funksiyalar

Maʻlumki, $y=sinx$ funksiya R da aniqlangan va uning qiymatlari toʻplami $Y_{f}=[-1,1]$ boʻladi.

Agar $x\in \left(-{\frac {\pi }{2}}\right)\left({\frac {\pi }{2}}\right)$ boʻlsa, u holda $X=\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)\left({\frac {\pi }{2}}\right)$ va $Y_{f}=[-1,1]$ toʻlamlarining elementlari oʻzaro bir qiymatli moslikda boʻladi.

$y=sinx$ funksiyaga nisbatan teskari funksiya $y=arcsinx$ kabi belgilanadi

Shunga oʻxshash $y=cosx,y=tgx,y=ctgx$ funksiyalarga nisbatan teskari funksiya mos ravishda $y=arccosx,y=arctgx,y=arcctgx$, kabi belgilanadi.

Ushbu $y=arcsinx,y=arccosx,y=arctgx,y=arcctgx$ funksiyalar teskari trigonometrik deyiladi.