Affin bogʻlanish

Tasvir yaratishda xatolik:

Sferadagi affin bogʻlanish affin urinma tekislikni bir nuqtadan boshqasiga dumalatadi. Shu jarayonda urinish nuqtasi tekislikda chiziq chizadi: development.

Differensial geometriyada affin bogʻlanish (affine connection)^[a] — silliq koʻpxillikdagi geometrik obyekt boʻlib, u yaqin joylashgan urinma fazolarni bogʻlaydi. Shu tufayli urinma vektor maydonlarini differensiallash mumkin boʻladi — xuddi ular koʻpxillikda aniqlangan va qiymatlari qandaydir qatʼiy vektor fazoda yotgan funksiyalardek. Bogʻlanishlar vektor rasslanmalarining kesimlarini differensiallashni aniqlashning eng sodda usullaridan biridir.^[3]

Affin bogʻlanish tushunchasining ildizlari 19-asr geometriyasi va tenzor hisobiga borib taqaladi. Biroq u faqat 1920-yillar boshida toʻliq shakllandi. Buni Eli Kartan (bu uni bogʻlanishlar haqidagi umumiy nazariyasining bir qismi sifatida ishlab chiqdi) va German Veyl (umumiy nisbiylik nazariyasi asoslarini yaratishda bu tushunchadan foydalandi) amalga oshirdi. Atama Kartanga tegishli^[b] va u Yevklid fazosi $R n$ dagi urinma fazolarni koʻchirish yoʻli bilan aynanlashtirishdan kelib chiqqan. Gʻoyaning mohiyati shunda: affin bogʻlanishni tanlash koʻpxillikni cheksiz kichik miqyosda Yevklid fazosiga oʻxshatib koʻrsatadi. Bunda oʻxshashlik nafaqat silliqlik nuqtayi nazaridan, balki affin fazo sifatida ham namoyon boʻladi.

Oʻlchami musbat boʻlgan har qanday koʻpxillikda cheksiz koʻp affin bogʻlanish mavjud. Agar koʻpxillik yana metrik tenzor bilan ham taʼminlangan boʻlsa, affin bogʻlanishning tabiiy tanlovi paydo boʻladi. Uni Levi-Chivita bogʻlanishi deb ataladi. Affin bogʻlanishni tanlash vektor maydonlarini differensiallash usulini koʻrsatishga teng kuchlidir. Bunday usul bir necha maʼqul xossani (chiziqlilik va Leybnits qoidasini) qanoatlantirishi shart. Bu esa affin bogʻlanishning yana bir taʼrifini beradi: uni kovariant hosila yoki urinma rasslanmadagi (chiziqli) bogʻlanish sifatida qarash mumkin. Affin bogʻlanishni tanlash parallel koʻchirish tushunchasiga ham teng kuchlidir. Parallel koʻchirish — urinma vektorlarni chiziqlar boʻylab tashish usuli. Bu, shuningdek, reperlar rasslanmasida ham parallel koʻchirishni aniqlaydi. Reperlar rasslanmasidagi cheksiz kichik parallel koʻchirish affin bogʻlanishning yana bir taʼrifini beradi: uni affin gruppa uchun Kartan bogʻlanishi yoki reperlar rasslanmasidagi asosiy bogʻlanish sifatida talqin qilish mumkin.

Affin bogʻlanishning (affine connection) asosiy invariantlari — uning torsiyasi (torsion) va curvature, yaʼni egriligi. Torsiya vektor maydonlarining Li qavsini (Lie bracket) affin bogʻlanish yordamida qanchalik toʻliq tiklash mumkinligini oʻlchaydi. Affin bogʻlanishlar orqali koʻpxillikda (manifold) affin geodesics, yaʼni geodezik chiziqlarni ham aniqlash mumkin. Ular Yevklid fazosidagi toʻgʻri chiziqlar tushunchasini umumlashtiradi. Biroq bunday toʻgʻri chiziqlarning geometriyasi odatdagi Euclidean geometry, yaʼni Yevklid geometriyasidan juda farq qilishi mumkin; asosiy farqlar bogʻlanishning egriligida mujassam boʻladi.

Motivatsiya va tarix

smooth manifold, yaʼni silliq koʻpxillik — lokal ravishda Yevklid fazosi $R n$ ning silliq deformatsiyasiga oʻxshaydigan mathematical obyekt. Masalan, silliq egri chiziq yoki sirt lokal ravishda toʻgʻri chiziq yoxud tekislikning silliq deformatsiyasiday koʻrinadi. Koʻpxilliklarda ham, xuddi Yevklid fazosidagi kabi, Smooth function va vector field, yaʼni silliq funksiya hamda vektor maydonlarini aniqlash mumkin. Koʻpxillikdagi skalyar funksiyalarni esa tabiiy yoʻl bilan differensiallash mumkin. Vektor maydonlarini differensiallash esa bunchalik sodda emas. Yevklid fazosida buni bajarish oson: $p$ nuqtadagi vektorlarning urinma fazosini (tangent space) yaqin $q$ nuqtadagi urinma fazo bilan koʻchirish orqali tabiiy ravishda aynanlashtirish mumkin. Umumiy koʻpxillikda esa yaqin urinma fazolar orasida bunday tabiiy moslik mavjud emas. Shu bois yaqin nuqtalardagi urinma vektorlarni aniq belgilangan tarzda solishtirib boʻlmaydi. Affin bogʻlanish tushunchasi ana shu muammoni bartaraf etish uchun kiritilgan: u yaqin urinma fazolarni bogʻlaydi. Bu gʻoyaning ildizlari ikkita asosiy manbaga borib taqaladi: sirtlar nazariyasi va tensor calculus, yaʼni tenzor hisobi.

Sirtlar nazariyasidan kelib chiqqan motivatsiya

Yana qarang: Cartan connection

Uch oʻlchovli Yevklid fazosida silliq sirt $S$ ni koʻrib chiqaylik. Har qanday nuqta atrofida $S$ ni oʻsha nuqtadagi tangent plane (urinma tekislik) bilan taqriban almashtirish mumkin. Bu tekislik Yevklid fazosining affine subspacei (affin qism fazosi) hisoblanadi. 19-asr differensial geometriya olimlarini yoyilma tushunchasi qiziqtirgan. Unda bir sirt ikkinchisining ustida sirpanmay va burilmay dumalatiladi. Xususan, $S$ ning biror nuqtasidagi urinma tekislikni $S$ ustida dumalatish mumkin. $S$ 2-sfera kabi sirt boʻlganda buni tasavvur qilish oson, chunki 2-sfera qavariq sohaning silliq chegarasidir. Urinma tekislik $S$ ustida dumalaganida, urinish nuqtasi $S$ da egri chiziq chizadi. Aksincha, $S$ da biror egri chiziq berilgan boʻlsa, urinma tekislikni shu chiziq boʻylab dumalatish mumkin. Bu esa egri chiziqning turli nuqtalaridagi urinma tekisliklarni oʻzaro solishtirish imkonini beradi. Xususan, chiziqning bir nuqtasidagi urinma fazoda olingan urinma vektorga boshqa istalgan nuqtada yagona urinma vektor mos keladi. Bunday moslikni doimo bir urinma tekislikdan ikkinchisiga oʻtuvchi affine transformationlar (affin almashtirishlar) beradi.

Urinma vektorlarni egri chiziq boʻylab affin almashtirishlar orqali parallel koʻchirish tushunchasi oʻziga xos xususiyatga ega: parallel koʻchirishda urinma tekislikning sirt bilan urinish nuqtasi egri chiziq bilan birga doimo siljiydi (yaʼni urinma tekislik sirt ustida dumalaganida, urinish nuqtasi ham harakatlanadi). Bu umumiy shart Cartan connectionlar (Kartan bogʻlanishlari) uchun xarakterlidir. Zamonaviyroq yondashuvlarda urinish nuqtasi urinma tekislikdagi koordinata boshi deb qaraladi, urinma tekislik esa vektor fazoga aylanadi. Koordinata boshining siljishi koʻchirish yordamida tuzatiladi. Natijada parallel koʻchirish affin emas, balki chiziqli boʻladi.

Kartan bogʻlanishlari (Cartan connection) nuqtai nazaridan esa Yevklid fazosining affin qism fazolari model sirtlar sanaladi — ular Yevklidning 3 oʻlchovli fazosidagi eng sodda sirtlar boʻlib, tekislikning affin guruhiga nisbatan bir jinslidir. Har bir silliq sirt uchun esa uning har bir nuqtasida unga urinma boʻlgan yagona model sirt mavjud. Bu model sirtlar — Felix Kleinning Erlangen programme dasturi maʼnosidagi Klein geometriyalari. Umumiyroq holda, $n$ oʻlchovli affin fazo affine group $Aff(n)$ uchun Klein geometry hisoblanadi. Bunda nuqtaning stabilizatori general linear group $GL(n)$ boʻladi. Demak, affin $n$ -koʻpxillik (manifold) — cheksiz kichik miqyosda $n$ oʻlchovli affin fazoga oʻxshaydigan koʻpxillik.

Tenzor hisobidan kelib chiqqan asos

Yana qarang: Covariant derivative

Fayl:Affine connection example.svg

Tarixan olimlar bir vektorning boshqa vektor yoʻnalishi boʻyicha oʻzgarish tezligini tavsiflash uchun kovariant hosiladan (yoki metrika beradigan Levi-Chivita bogʻlanishidan) foydalanganlar. Bu yerda, teshilgan 2 oʻlchovli Yevklid fazosida koʻk vektor maydoni

X

one-form

d r

ni hamma joyda 0.07 ga oʻtkazadi. Qizil vektor maydoni

Y

esa

r d θ

bir-formani (one-form) hamma joyda

0.5 r

ga oʻtkazadi.

d s 2 = d r 2 + r 2 d θ 2

metrikaga tayangan Levi-Chivita bogʻlanishi

\nabla Y X

hamma joyda 0 ga teng. Bu

X

ning

Y

boʻylab oʻzgarmasligini koʻrsatadi. Boshqacha aytganda,

X

har bir concentric aylana boʻylab parallel transport. Hamma joyda

\nabla X Y = Y / r

oʻrinli va u

r d θ

ni hamma joyda 0.5 ga oʻtkazadi. Demak,

Y

radial yoʻnalishda «oʻzgarmas» oʻzgarish tezligiga ega.

Affin bogʻlanishlar uchun ikkinchi asos vektor maydonlarining covariant derivative tushunchasidan kelib chiqadi. Koordinatalarga bogʻliq boʻlmagan usullar paydo boʻlishidan avval matematiklar vektor maydonlari bilan boshqacha ishlaganlar: ular Euclidean vectorlarni embedding orqali atlasga kiritishga majbur edilar. Bunday komponentlarni differensiallash mumkin, biroq koordinatalar almashganda hosilalar qulay tarzda oʻzgarmaydi.^{[manba kerak]} Shu sababli 1870-yillarda Elwin Bruno Christoffel (Bernhard Riemann gʻoyalariga tayangan holda) tuzatish hadlarini kiritdi. Ular tufayli bir vektor maydonining boshqasi boʻylab olingan (tuzatilgan) hosilasi koordinata almashtirishlarida kovariant tarzda oʻzgardi — keyinchalik bu tuzatish hadlari Christoffel symbollar nomi bilan mashhur boʻldi.

Gregorio Ricci-Curbastro va uning shogirdi Tullio Levi-Civita bu gʻoyani 1880-yildan 20-asr boshlarigacha boʻlgan davrda absolut differensial hisob nazariyasiga aylantirdilar. Bu nazariya hozir tensor calculus nomi bilan mashhur.

Tensor hisobi esa haqiqiy maʼnoda 1915-yilda Albert Einsteinning general relativity nazariyasi yuzaga kelishi bilan jonlandi. Oradan bir necha yil oʻtgach, Levi-Chivita Riman metrikasiga mos yagona bogʻlanishni qatʼiy taʼrifladi; bu bogʻlanish bugun Levi-Civita connection nomi bilan mashhur. Umumiyroq affin bogʻlanishlarni esa 1920-yillar atrofida Hermann Weyl^[5] va Élie Cartan^[6] oʻrgandi. Veyl umumiy nisbiylik nazariyasi uchun batafsil matematik asos yaratdi. Kartan esa bu tushunchani sirtlar nazariyasidan kelib chiqqan geometrik gʻoyalar bilan bogʻladi.

Yondashuvlar

Murakkab tarixiy rivojlanish natijasida affin bogʻlanish tushunchasiga juda xilma-xil yondashuvlar va uning turli umumlashmalari paydo boʻldi.

Eng ommabop yondashuv, ehtimol, kovariant hosilalar (covariant derivatives) asosidagi taʼrifdir. Bir tomondan, Veylning gʻoyalarini fiziklar gauge theory va gauge covariant derivativelar shaklida davom ettirdi. Ikkinchi tomondan, kovariant differensiallash tushunchasini Jean-Louis Koszul mavhum koʻrinishga keltirdi. U vector bundlelar ustida (chiziqli yoki Koszul) bogʻlanishlarni taʼrifladi. Shu tilda aytganda, affin bogʻlanish — bu tangent bundle ustidagi covariant derivative yoki (chiziqli) bogʻlanishning oʻzi.

Biroq bu yondashuv affin bogʻlanishlar ortidagi geometriyani ham, ularning nomi qayerdan kelib chiqqanini ham tushuntirmaydi.^[c] Atamaning kelib chiqishi Yevklid fazosidagi urinma fazolarni siljitish (translation) orqali aynanlashtirishga borib taqaladi: bu xossa Yevklid $n$ -fazosi affine space ekanini bildiradi. (Buni boshqacha ham aytish mumkin: Yevklid fazosi siljitishlar guruhiga nisbatan principal homogeneous space yoki torsor boʻladi, bu guruh esa affin guruhning qism guruhi hisoblanadi.) Kirishda aytilganidek, buni aniq ifodalashning bir necha yoʻli bor. Ulardan biri shunga asoslanadi: affin bogʻlanish egri chiziq boʻylab vektor maydonlarining parallel transport tushunchasini aniqlaydi. Shu bilan birga u frame bundle ustida ham parallel koʻchirishni aniqlaydi. Reperlar rasilasidagi cheksiz kichik parallel koʻchirish affin bogʻlanishning yana bir taʼrifini beradi: uni $Aff(n)$ affin guruhi uchun Kartan bogʻlanishi deb ham, frame bundle ustidagi asosiy $GL(n)$ -bogʻlanish deb ham qarash mumkin.

Differensial operator sifatidagi rasmiy taʼrif

Yana qarang: Covariant derivative va Connection (vector bundle)

Faraz qilaylik, $M$ — silliq manifold, $Γ(T M)$ esa $M$ ustidagi vector fields fazosi, yaʼni tangent bundle $T M$ ning silliq kesimlari fazosi. U holda $M$ ustidagi affin bogʻlanish (affine connection) — bu quyidagi bilinear map

{\begin{aligned}\Gamma (\mathrm {T} M)\times \Gamma (\mathrm {T} M)&\rightarrow \Gamma (\mathrm {T} M)\\(X,Y)&\mapsto \nabla _{X}Y\,,\end{aligned}}

Bunda $M$ dagi silliq funksiyalar toʻplamiga (u $C \infty (M, R)$ kabi belgilanadi) tegishli barcha $f$ uchun va $M$ dagi barcha $X, Y$ vektor maydonlari uchun quyidagi shartlar bajarilishi kerak:

$\nabla fX Y = f \nabla X Y$ , yaʼni $\nabla$ birinchi oʻzgaruvchi boʻyicha $C \infty (M, R)$ -chiziqli;
$\nabla X (fY) = (\partial X f) Y + f \nabla X Y$ , bu yerda $\partial X$ yoʻnalish boʻyicha hosilani bildiradi; yaʼni $\nabla$ ikkinchi oʻzgaruvchi boʻyicha Leybnits qoidasiga boʻysunadi.

Elementar xossalar

Yuqoridagi 1-xossadan kelib chiqadiki, $\nabla X Y$ ning $x \in M$ nuqtadagi qiymati faqat $X$ ning $x$ dagi qiymatiga bogʻliq, $X$ ning $M - {x}$ dagi qiymatiga esa bogʻliq emas. 2-xossadan esa shu kelib chiqadiki, $\nabla X Y$ ning $x \in M$ nuqtadagi qiymati faqat $Y$ ning $x$ atrofidagi qiymatiga bogʻliq.
Agar $\nabla 1, \nabla 2$ affin bogʻlanishlar boʻlsa, $\nabla Y - \nabla Y$ ning $x$ dagi qiymatini $Γ x (X x, Y x)$ koʻrinishida yozish mumkin. Bu yerda $\Gamma _{x}:\mathrm {T} _{x}M\times \mathrm {T} _{x}M\to \mathrm {T} _{x}M$ bichiziqli boʻlib, $x$ ga silliq bogʻlanadi (yaʼni u silliq dasta gomomorfizmini aniqlaydi). Aksincha, agar $\nabla$ affin bogʻlanish, $Γ$ esa ana shunday silliq bichiziqli dasta gomomorfizmi boʻlsa (uni $M$ dagi bogʻlanish formasi deyiladi), u holda $\nabla + Γ$ ham affin bogʻlanish boʻladi.
Agar $M$ $R n$ ning ochiq qism toʻplami boʻlsa, $M$ ning urinma dastasi $M \times R n$ trivial dastadan iborat boʻladi. Bunday holda $M$ da kanonik $d$ affin bogʻlanish mavjud: har qanday $Y$ vektor maydoni $M$ dan $R n$ ga akslantiruvchi $V$ silliq funksiya orqali beriladi; u holda $d X Y$ — $M$ dan $R n$ ga akslantiruvchi $d V (X) = \partial X Y$ silliq funksiyaga mos keluvchi vektor maydoni. Shu sababli $M$ dagi boshqa har qanday $\nabla$ affin bogʻlanishni $\nabla = d + Γ$ koʻrinishida yozish mumkin, bu yerda $Γ$ — $M$ dagi bogʻlanish formasi.
Umumiyroq qilib aytganda, urinma dastasining lokal trivializatsiyasi — bu $T M$ ning $M$ dagi $U$ ochiq qism toʻplamiga qisqartmasi bilan $U \times R n$ orasidagi dasta izomorfizmi. Shunda $\nabla$ affin bogʻlanishning $U$ ga qisqartmasini $d + Γ$ koʻrinishida yozish mumkin, bu yerda $Γ$ — $U$ dagi bogʻlanish formasi.

Affin bogʻlanishlar uchun parallel koʻchirish

Yana qarang: Parallel transport

Fayl:Parallel transport sphere2.svg

Sferadagi egri chiziq boʻylab urinma vektorning parallel koʻchirilishi.

Koʻpxillikning turli nuqtalaridagi urinma vektorlarni oʻzaro solishtirish, odatda, aniq maʼnoga ega boʻlmaydi. Affin bogʻlanish bu muammoni parallel koʻchirish tushunchasi yordamida hal qilish yoʻlini beradi. Aslida shu tushunchaning oʻzidan affin bogʻlanishning taʼrifini keltirib chiqarish ham mumkin.

Faraz qilaylik, $M$ — affin bogʻlanishga ega boʻlgan $\nabla$ koʻpxillik. Agar $X$ vektor maydoni uchun $\nabla X = 0$ shart bajarilsa, uni parallel deb ataladi. Bu shart shuni bildiradiki, ixtiyoriy $Y$ vektor maydoni uchun $\nabla Y X = 0$ . Sodda qilib aytganda, parallel vektorlarning barcha hosilalari nolga teng boʻladi, shu maʼnoda ular oʻzgarmas hisoblanadi. Parallel vektor maydonining $x$ va $y$ nuqtalaridagi qiymatlarini olsak, $x$ nuqtadagi urinma vektor bilan $y$ nuqtadagi urinma vektor oʻzaro moslikka keladi. Bunday urinma vektorlar bir-birining parallel koʻchirmalari deb ataladi.

Noldan farqli parallel vektor maydonlari, umuman olganda, mavjud boʻlmaydi. Buning sababi shundaki, $\nabla X = 0$ tenglama xususiy hosilali differensial tenglama boʻlib, u ortiqcha aniqlangan hisoblanadi. Bu tenglamaning integrallanuvchanlik sharti — $\nabla$ ning egriligi nolga aylanishidir (quyiga qarang). Ammo bu tenglamani $x$ nuqtadan $y$ nuqtaga boruvchi egri chiziq bilan chegaralasak, u oddiy differensial tenglamaga aylanadi. U holda $x$ nuqtadagi $X$ ning har qanday boshlangʻich qiymati uchun yechim yagona boʻladi.

Aniqroq aytganda, $γ : I \to M$ — $[a, b]$ oraliq bilan parametrlangan silliq egri chiziq boʻlsin va $ξ \in T x M$ boʻlsin, bunda $x = γ (a)$ . Agar quyidagi shartlar bajarilsa, $γ$ boʻylab olingan $X$ vektor maydoni (xususan, bu vektor maydonining $y = γ (b)$ dagi qiymati) $ξ$ ning $γ$ boʻylab parallel koʻchirmasi deb ataladi:

$\nabla γ' (t) X = 0$ , barcha $t \in [a, b]$ uchun
$X γ (a) = ξ$ .

Rasmiy tilda birinchi shart shuni bildiradiki, $X$ $γ * T M$ teskari tortilgan bandlidagi teskari tortilgan bogʻlanishga nisbatan parallel boʻladi. Biroq lokal trivializatsiyada bu birinchi tartibli chiziqli oddiy differensial tenglamalar sistemasi boʻlib, ikkinchi shart bilan berilgan har qanday boshlangʻich shart uchun uning yagona yechimi mavjud (masalan, Pikar–Lindelyof teoremasiga koʻra).

Demak, parallel koʻchirish urinma vektorlarni egri chiziq boʻylab siljitish imkonini beradi. Bunda affin bogʻlanish vektorlarning intuitiv maʼnoda «bir xil yoʻnalishda qolishi»ni taʼminlaydi. Natijada egri chiziqning ikki uchidagi urinma fazolar orasida linear isomorphism hosil boʻladi. Bu yoʻl bilan olingan izomorfizm, odatda, egri chiziq tanloviga bogʻliq boʻladi. Agar bogʻliq boʻlmasa, har bir egri chiziq boʻylab parallel koʻchirish yordamida $M$ da parallel vektor maydonlarini aniqlash mumkin. Bu esa faqat $\nabla$ ning egriligi nolga teng boʻlgandagina roʻy beradi.

Chiziqli izomorfizm oʻzining tartiblangan bazisga yoki reperga taʼsiri bilan toʻliq aniqlanadi. Shu sababli parallel koʻchirishni (urinma) frame bundle $GL(M)$ elementlarini egri chiziq boʻylab tashish usuli sifatida ham taʼriflash mumkin. Boshqacha aytganda, affin bogʻlanish $M$ dagi ixtiyoriy $γ$ egri chizigʻini $GL(M)$ dagi $γ̃$ egri chizigʻiga koʻtaradi.

Reperlar bogʻlamidagi rasmiy taʼrif

Yana qarang: Connection (principal bundle)

Affin bogʻlanishni $M$ koʻpxilligining frame bundle $F M$ yoki $GL(M)$ ustidagi bosh $GL(n)$ bogʻlanishi $ω$ sifatida ham taʼriflash mumkin. Batafsil aytganda, $ω$ — reperlar bogʻlamining $T(F M)$ urinma bogʻlamidan $n \times n$ matritsalar fazosiga olib boruvchi silliq akslantirish. Bu fazo teskarilanuvchi $n \times n$ matritsalardan iborat Lie group $GL(n)$ ning Lie algebra $gl (n)$ si hisoblanadi. Akslantirish quyidagi ikki xossani qanoatlantiradi:

$ω$ — $GL(n)$ ning $T(F M)$ va $gl (n)$ dagi taʼsiriga nisbatan equivariant;
$gl (n)$ dagi ixtiyoriy $ξ$ uchun $ω (X ξ) = ξ$ oʻrinli; bu yerda $X ξ$ — $F M$ dagi $ξ$ ga mos keluvchi vektor maydoni.

Bunday $ω$ bogʻlanish darhol covariant derivativeni aniqlaydi. U nafaqat urinma bogʻlamda, balki $GL(n)$ ning ixtiyoriy group representationiga bogʻlangan vector bundlelarda ham aniqlanadi. Bunga tensorlar va tensor zichliklari bogʻlamlari ham kiradi. Aksincha, urinma bogʻlamdagi affin bogʻlanish reperlar bogʻlamidagi affin bogʻlanishni aniqlaydi. Masalan, buning uchun $ω$ ning nolga aylanishini talab qilish yetarli. Bu talab parallel koʻchirish yordamida aniqlangan egri chiziq koʻtarmalariga urinma vektorlar uchun qoʻyiladi.

Reperlar bandli (frame bundle) yana payvandlovchi forma $θ : T(F M) \to R n$ bilan ham taʼminlangan. Bu forma gorizontal: u vertikal vektorlarda, masalan, $X ξ$ vektor maydonlarining nuqtadagi qiymatlarida nolga aylanadi. Haqiqatan, $θ$ ni ikki bosqichda aniqlaymiz: avval $f$ reperdagi urinma vektorni ( $F M$ ga urinma vektorni) $M$ ga proyeksiyalaymiz, soʻngra $M$ dagi shu urinma vektorning $f$ reperga nisbatan komponentalarini olamiz. Shuni qayd etish lozimki, $θ$ bundan tashqari $GL(n)$ -ekvivariantdir (bu yerda $GL(n)$ $R n$ ga matritsalarni koʻpaytirish orqali taʼsir qiladi).

$(θ, ω)$ juftligi $T(F M)$ ning $F M \times aff (n)$ trivial bandl bilan bandllar izomorfizmini (bundle isomorphism) aniqlaydi. Bu yerda $aff (n)$ — $R n$ va $gl (n)$ ning Dekart koʻpaytmasi (Cartesian product); $gl (n)$ ni affin gruppaning Li algebrasi sifatida qaraymiz, bu gruppa esa aslida yarim toʻgʻri koʻpaytma (semidirect product) hisoblanadi – quyiga qarang.

Affin bogʻlanishlar Kartan bogʻlanishlari sifatida

Yana qarang: Cartan connection

Affin bogʻlanishlarni Kartanning umumiy yondashuvi doirasida ham aniqlash mumkin.^[7] Zamonaviy talqinda bu reperlar bandlidagi affin bogʻlanish taʼrifi bilan chambarchas bogʻliq. Haqiqatan, bir taʼrifga koʻra, Kartan bogʻlanishi — mos xossalarni qanoatlantiruvchi bosh bandlning absolyut parallelizmi (absolute parallelism). Shu nuqtayi nazardan, affin koʻpxillikning (affine manifold) reperlar bandlidagi $aff (n)$ qiymatli $(θ, ω) : T(F M) \to aff (n)$ bir formasi Kartan bogʻlanishidir. Ammo Kartanning dastlabki yondashuvi bundan bir necha jihatdan farq qilgan:

reperlar bandli yoki bosh bandl tushunchasi hali mavjud emas edi;
bogʻlanishni cheksiz yaqin nuqtalar orasidagi parallel koʻchirish sifatida tushunishgan;^[d]
bu parallel koʻchirish chiziqli emas, balki affin boʻlgan;
koʻchiriladigan obyektlar zamonaviy maʼnodagi urinma vektorlar emas, balki belgilangan nuqtaga ega affin fazo (affine space) elementlari boʻlgan; Kartan bogʻlanishi esa bu fazoni pirovardida urinma fazo bilan ayniylashtiradi.

Izohlar va tarixiy tasavvur

Yuqorida aytilgan fikrlarni teskari tartibda — sirtlar nazariyasi bergan turtkidan boshlab — tushuntirish osonroq. Bu holatda sirt ustida dumalatilayotgan tekisliklar sodda maʼnoda urinma tekisliklardir. Ammo tangent space, yaʼni urinma fazo tushunchasi aslida cheksiz kichik tushunchadir,^[e] tekisliklar esa $R 3$ ning affine subspacelari sifatida cheksiz yoyilgan. Shunga qaramay, bu affin tekisliklarning har birida belgilangan nuqta bor — bu sirt bilan urinish nuqtasi. Tekisliklar aynan shu nuqtada sirtga urinadi. Chalkashlik esa shundan kelib chiqadi: belgilangan nuqtaga ega affin fazoni shu nuqtadagi urinma fazo bilan aynanlashtirish mumkin. Biroq dumalatish orqali aniqlangan parallel koʻchirish bu boshlangʻich nuqtani joyida qoldirmaydi: u chiziqli emas, balki affin akslantirishdir. Chiziqli parallel koʻchirishni esa siljitish (translatsiya) qoʻllab tiklash mumkin.

Shu gʻoyani mavhumlashtirsak, affin koʻpxillik (affine manifold) quyidagicha boʻlishi kerak. Bu $M$ — $n$ -koʻpxillik boʻlib, uning har bir $x \in M$ ga $a x \in A x$ belgilangan nuqtada oʻlchami $n$ ga teng $A x$ affin fazosi biriktirilgan. Bundan tashqari, bu affin fazolarning elementlarini $M$ dagi ixtiyoriy $C$ egri chizigʻi boʻylab koʻchirish usuli ham berilgan boʻlishi kerak. Bu usul bir nechta shartni qanoatlantiradi:

$C$ dagi ixtiyoriy ikkita $x, y$ nuqta uchun parallel koʻchirish $A x$ dan $A y$ ga affine transformation boʻladi;
parallel koʻchirish cheksiz kichik maʼnoda aniqlanadi, yaʼni u $C$ ning har bir nuqtasida differensiallanuvchi boʻlib, faqat shu nuqtadagi $C$ ga urinma vektorga bogʻliq;
$x$ dagi parallel koʻchirishning hosilasi $T x M$ dan $T a x A x$ ga linear isomorphism aniqlaydi.

Oxirgi ikkita shartni aniq ifodalash ancha qiyin,^[9] shuning uchun affin bogʻlanishlar (affine connections) koʻpincha cheksiz kichik koʻrinishda taʼriflanadi. Buni asoslash uchun affin frames of reference, yaʼni sanoq sistemalari parallel koʻchirishda cheksiz kichik oʻzgarish bilan qanday almashishini koʻrib chiqish kifoya. (Kartanning method of moving frames, yaʼni harakatlanuvchi reperlar usuli ana shundan kelib chiqqan.) Nuqtadagi affin reper $(p, e 1,\dots e n)$ roʻyxatidan iborat. Bunda $p \in A x$ ^[f] boʻlib, $e i$ lar $T p (A x)$ ning bazisini tashkil qiladi. Affin bogʻlanish esa ramziy ravishda birinchi tartibli differential system orqali beriladi

(*){\begin{cases}\mathrm {d} {p}&=\theta ^{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +\theta ^{n}\mathbf {e} _{n}\\\mathrm {d} \mathbf {e} _{i}&=\omega _{i}^{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +\omega _{i}^{n}\mathbf {e} _{n}\end{cases}}\quad i=1,2,\ldots ,n

bir-formalar $(θ Andoza:Hairsp j, ω Andoza:Hairsp)$ toʻplami yordamida aniqlanadi. Geometrik nuqtayi nazardan, affin reper $γ$ egri chiziq boʻylab $γ (t)$ nuqtadan $γ (t + δt)$ nuqtaga siljiydi. Bu siljish (taqriban yoki cheksiz kichik miqyosda) quyidagicha ifodalanadi:

{\begin{aligned}p(\gamma (t+\delta t))-p(\gamma (t))&=\left(\theta ^{1}\left(\gamma '(t)\right)\mathbf {e} _{1}+\cdots +\theta ^{n}\left(\gamma '(t)\right)\mathbf {e} _{n}\right)\mathrm {\delta } t\\\mathbf {e} _{i}(\gamma (t+\delta t))-\mathbf {e} _{i}(\gamma (t))&=\left(\omega _{i}^{1}\left(\gamma '(t)\right)\mathbf {e} _{1}+\cdots +\omega _{i}^{n}\left(\gamma '(t)\right)\mathbf {e} _{n}\right)\delta t\,.\end{aligned}}

Bundan tashqari, $A x$ affin fazolari $M$ ga urinma boʻlishi kerak. Buni norasmiy maʼnoda shunday tushunish mumkin: $a x$ ning $γ$ boʻylab siljishini $γ$ ning $x = γ (t)$ nuqtasidagi $γ'(t)$ urinma vektori bilan (taqriban yoki cheksiz kichik miqyosda) tenglashtirsa boʻladi. Bu vektorning oʻzi esa $x$ ning cheksiz kichik siljishidir. Chunki

a_{x}(\gamma (t+\delta t))-a_{x}(\gamma (t))=\theta \left(\gamma '(t)\right)\delta t\,,

bu yerda $θ$ ni $θ (X) = θ 1 (X) e 1 + \dots + θ n (X) e n$ munosabati aniqlaydi. Shunday qilib, bu moslikni $θ$ beradi, demak $θ$ har bir nuqtada chiziqli izomorfizm boʻlishi talab etiladi.

Shu tariqa $A x$ urinma affin fazosini intuitiv ravishda $x$ nuqtaning cheksiz kichik affin atrofi deb tushunish mumkin.

Zamonaviy qarash bu intuitiv tasavvurlarni asosiy bandllar (principal bundle) yordamida ancha aniq ifodalaydi. Uning asosiy gʻoyasi — reperni yoki oʻzgaruvchan reperni barcha reperlar fazosi hamda shu fazodagi funksiyalar bilan almashtirishdir. Bu yondashuv Felix Kleinning Erlangen programmeidan ham ilhom oladi,^[10] unda geometriya homogeneous space sifatida taʼriflanadi. Affin fazo ana shu maʼnoda geometriya boʻlib, u yassi Kartan bogʻlanishi bilan taʼminlangan. Demak, umumiy affin koʻpxilligini (manifold) affin fazoning yassi model geometriyasi egilgan deformatsiyasi sifatida qarash mumkin.

Yassi model geometriya sifatida affin fazo

Affin fazoning taʼrifi

Norasmiy tarzda aytganda, affine space (affin fazo) — bu koordinata boshi qatʼiy tanlanmagan vector space (vektor fazo). U fazodagi nuqtalar va erkin vektorlar geometriyasini tasvirlaydi. Koordinata boshi yoʻqligi sababli affin fazodagi nuqtalarni bir-biriga qoʻshib boʻlmaydi. Chunki vektorlarni qoʻshishning parallelogramm qoidasini tuzish uchun koordinata boshini tanlash zarur. Ammo $v$ vektorni $p$ nuqtaga qoʻshish mumkin: buning uchun vektorning boshlangʻich nuqtasini $p$ ga qoʻyamiz, soʻng $p$ ni vektorning oxirgi nuqtasiga koʻchiramiz. Shu tarzda taʼriflangan $p \to p + v$ amal $p$ nuqtaning $v$ boʻylab koʻchirilishi (translation) deyiladi. Qatʼiy tilda aytganda, affin $n$ -fazo — bu $A n$ toʻplam boʻlib, $R n$ vektor guruhi unda nuqtalarni koʻchirish amali orqali erkin tranzitiv taʼsir koʻrsatadi. Demak, $A n$ — $R n$ vektor guruhi uchun principal homogeneous space (asosiy bir jinsli fazo).

general linear group $GL(n)$ — bu $R n$ ning almashtirishlar guruhi boʻlib, u $R n$ ning chiziqli tuzilishini saqlaydi, yaʼni $T (av + bw) = aT (v) + bT (w)$ . Shunga oʻxshab, affine group $Aff(n)$ — $A n$ ning affin tuzilishini saqlovchi almashtirishlar guruhi. Shu sababli $φ \in Aff(n)$ koʻchirishlarni saqlashi kerak, yaʼni

\varphi (p+v)=\varphi (p)+T(v)

bu yerda $T$ — umumiy chiziqli almashtirish. $φ \in Aff(n)$ ni $T \in GL(n)$ ga oʻtkazuvchi akslantirish group homomorphism (guruhlar gomomorfizmi) boʻladi. Uning yadrosi — $R n$ koʻchirishlar guruhi. Shu proyeksiya yordamida $A$ dagi istalgan $p$ nuqtaning stabilizatorini $GL(n)$ bilan aynanlashtirish mumkin. Bu esa affin guruhni $GL(n)$ va $R n$ ning semidirect product (yarim toʻgʻri koʻpaytmasi) sifatida, affin fazoni esa $Aff(n)/GL(n)$ homogeneous space (bir jinsli fazo) sifatida namoyon qiladi.

Affin reperlar va tekis affin bogʻlanish

$A$ uchun affin reper (affine frame) $p \in A$ nuqta va $T p A = R n$ vektor fazosining $(e 1,\dots e n)$ bazisidan iborat. Umumiy chiziqli guruh $GL(n)$ barcha affin reperlar toʻplami $F A$ ustida erkin taʼsir qiladi: u $p$ ni oʻzgarishsiz qoldiradi va $(e 1,\dots e n)$ bazisini odatdagi tarzda oʻzgartiradi. $(p; e 1,\dots e n)$ affin reperini $p$ ga oʻtkazuvchi $π$ akslantirish esa faktor akslantirish boʻladi. Demak, $F A$ — $A$ ustidagi bosh $GL(n)$ -bandl. $GL(n)$ ning taʼsiri tabiiy ravishda $Aff(n)$ affin guruhining $F A$ ustidagi erkin va tranzitiv taʼsirigacha kengayadi. Shu sababli $F A$ — $Aff(n)$ -torsor, sanoq reperini tanlash esa $F A \to A$ ni $Aff(n) \to Aff(n)/GL(n)$ bosh bandl bilan ayniylashtiradi.

$F A$ ustida quyidagicha aniqlangan $n + 1$ funksiyalar toʻplami mavjud:

\pi (p;\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n})=p

(avvalgidek) va

\varepsilon _{i}(p;\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n})=\mathbf {e} _{i}\,.

$A$ uchun boshlangʻich nuqta tanlangach, bularning barchasi $R n$ da qiymat qabul qiluvchi funksiyalarga aylanadi. Shu bois ularning tashqi hosilalarini olib, $R n$ da qiymat qabul qiluvchi differensial 1-formalarni hosil qilish mumkin. $ε i$ funksiyalar $F A$ ning har bir nuqtasida $R n$ uchun bazis beradi. Demak, bu 1-formalarni quyidagi koʻrinishdagi yigʻindilar shaklida ifodalash mumkin:

{\begin{aligned}\mathrm {d} \pi &=\theta ^{1}\varepsilon _{1}+\cdots +\theta ^{n}\varepsilon _{n}\\\mathrm {d} \varepsilon _{i}&=\omega _{i}^{1}\varepsilon _{1}+\cdots +\omega _{i}^{n}\varepsilon _{n}\end{aligned}}

bu yerda $(θ Andoza:Hairsp i, ω Andoza:Hairsp) 1 \leq i, j, k \leq n$ — $Aff(n)$ ustidagi haqiqiy qiymatli bir formalarning maʼlum bir toʻplami. $F A \to A$ bosh bandl ustidagi bir formalarning bu sistemasi $A$ dagi affin bogʻlanishni aniqlaydi.

Tashqi hosilani ikkinchi marta olsak hamda $d 2 = 0$ ekanligidan va $ε i$ larning chiziqli erkinligidan foydalansak, quyidagi munosabatlarni olamiz:

{\begin{aligned}\mathrm {d} \theta ^{j}-\sum _{i}\omega _{i}^{j}\wedge \theta ^{i}&=0\\\mathrm {d} \omega _{i}^{j}-\sum _{k}\omega _{k}^{j}\wedge \omega _{i}^{k}&=0\,.\end{aligned}}

Bular $Aff(n)$ Li guruhi uchun Maurer–Kartan tenglamalaridir (sanoq reperini tanlash orqali $F A$ bilan ayniylashtirilgan). Bundan tashqari:

$θ Andoza:Hairsp j = 0$ Pfaff sistemasi (barcha $j$ uchun) integrallanuvchi boʻladi, uning integral koʻpxilligi esa $Aff(n) \to A$ bosh bandlining qatlamlaridan iborat.
$ω Andoza:Hairsp = 0$ Pfaff sistemasi (barcha $i, j$ uchun) ham integrallanuvchi, uning integral koʻpxilliklari esa $F A$ dagi parallel koʻchirishni aniqlaydi.

Demak, $(ω Andoza:Hairsp)$ formalar $F A \to A$ ustida yassi bosh bogʻlanish (principal connection) aniqlaydi.

Motivatsiya bilan qatʼiy taqqoslash uchun parallel koʻchirishni (parallel transport) aslida $A$ ustidagi bosh $Aff(n)$ -bandlda aniqlash lozim. Buni $F A$ ni siljish orqali aniqlangan silliq akslantirish $φ : R n \times A \to A$ boʻyicha orqaga tortish yordamida bajarish mumkin. U holda $φ' * F A \to F A \to A$ kompozitsiya $A$ ustidagi bosh $Aff(n)$ -bandl boʻladi. $(θ Andoza:Hairsp i, ω Andoza:Hairsp)$ formalar esa orqaga tortilib, bu bandlda yassi bosh $Aff(n)$ -bogʻlanish hosil qiladi.

Umumiy affin geometriyalar: rasmiy taʼriflar

Affin fazo, mohiyatan har qanday silliq Klein geometry singari, yassi Kartan bogʻlanishi bilan taʼminlangan koʻpxillikdir (manifold). Maurer-Kartan tenglamalari ifodalaydigan yassilik shartidan voz kechish orqali umumiyroq affin koʻpxilliklar yoki affin geometriyalarni osongina hosil qilish mumkin. Taʼrifga yondashishning bir necha yoʻli bor, quyida ulardan ikkitasi keltiriladi. Har ikkala taʼrifni bir kuzatuv osonlashtiradi: yassi modeldagi $(θ Andoza:Hairsp i, ω Andoza:Hairsp)$ 1-formalar birlashib, $Aff(n)$ affin gruppasining $aff (n)$ Li algebrasida qiymat qabul qiluvchi yagona 1-formani beradi.

Bu taʼriflarda $M$ — silliq $n$ -koʻpxillik, $A = Aff(n)/GL(n)$ esa shu oʻlchamli affin fazo.

Absolut parallellik orqali taʼrif

$M$ koʻpxillik, $P$ esa $M$ ustidagi bosh $GL(n)$ -bandl boʻlsin. U holda affin bogʻlanish — bu $P$ ustidagi, $aff (n)$ da qiymat qabul qiluvchi va quyidagi xossalarni qanoatlantiruvchi $η$ 1-formadir:

$η$ $GL(n)$ ning $P$ va $aff (n)$ dagi taʼsiriga nisbatan ekvivariant;
barcha $n \times n$ matritsalardan iborat $gl (n)$ Li algebrasidagi har qanday $ξ$ uchun $η (X ξ) = ξ$ ;
$η$ — $P$ ning har bir urinma fazosini $aff (n)$ ga oʻtkazuvchi chiziqli izomorfizm.

Oxirgi shart shuni bildiradiki, $η$ — $P$ dagi absolute parallelism (absolut parallellik), yaʼni u $P$ ning urinma bandlini trivial bandl bilan ayniylashtiradi (bu holda $P \times aff (n)$ ). $(P, η)$ juftlik $M$ da affin geometriya strukturasini aniqlaydi va uni affin koʻpxillikka aylantiradi.

$aff (n)$ affin Li algebrasi $R n$ va $gl (n)$ ning yarim toʻgʻri koʻpaytmasiga (semidirect product) ajraladi. Shuning uchun $η$ ni $(θ, ω)$ juftlik koʻrinishida yozish mumkin. Bunda $θ$ $R n$ da, $ω$ esa $gl (n)$ da qiymat qabul qiladi. 1- va 2-shartlar quyidagilarga teng kuchli: $ω$ — asosiy $GL(n)$ -bogʻlanish, $θ$ esa gorizontal ekvivariant 1-forma. Bu 1-forma $T M$ dan $P \times GL(n) R n$ associated bundleiga (bogʻlangan dasta) bundle homomorphism (dasta gomomorfizmi) hosil qiladi. 3-shart esa shu dasta gomomorfizmining izomorfizm ekanligiga teng kuchli. (Biroq bunday yoyilma affin gruppasining oʻziga xos tuzilishidan kelib chiqadi.) $P$ $P \times GL(n) R n$ ning frame bundlei (reperlar dastasi) boʻlgani uchun $θ$ $P$ bilan $M$ ning $F M$ reperlar dastasi orasida dasta izomorfizmini beradi. Bu esa affin bogʻlanishning $F M$ ustidagi asosiy $GL(n)$ -bogʻlanish sifatidagi taʼrifini qayta hosil qiladi.

Yassi modelda paydo boʻladigan 1-formalar $θ$ va $ω$ ning komponentlaridan iborat.

Asosiy affin bogʻlanish sifatidagi taʼrif

$M$ ustidagi affin bogʻlanish deb $M$ ustidagi $Q$ asosiy $Aff(n)$ -dastasiga aytiladi. U bilan birga $Q$ ning $P$ asosiy $GL(n)$ -qismdastasi hamda $α$ asosiy $Aff(n)$ -bogʻlanishi beriladi. Bu bogʻlanish $Q$ ustidagi 1-forma boʻlib, $aff (n)$ da qiymat qabul qiladi. U quyidagi (umumiy) Kartan shartini qanoatlantirishi kerak. $α$ ning $P$ ga koʻchirilgan shaklidagi $R n$ komponenti gorizontal ekvivariant 1-forma boʻladi. Shu sababli u $T M$ dan $P \times GL(n) R n$ ga dasta gomomorfizmini aniqlaydi; shart boʻyicha bu gomomorfizm izomorfizm boʻlishi lozim.

Motivatsiya bilan bogʻliqligi

$Aff(n)$ $A$ da taʼsir qilgani uchun $Q$ asosiy dastasiga bogʻliq $A = Q \times Aff(n) A$ dasta mavjud. Bu dasta $M$ ustidagi tolali dasta boʻlib, uning $M$ dagi $x$ nuqtadagi tolasi $A x$ affin fazodan iborat. $A$ ning $a$ kesimi har bir $x \in M$ uchun $A x$ da $a x$ belgilangan nuqtani aniqlaydi. Bunday kesim $Q$ ning $P$ asosiy $GL(n)$ -qismdastasini belgilaydi va aksincha; bu qismdasta shu belgilangan nuqtalarning stabilizatorlari dastasidir. $α$ asosiy bogʻlanishi esa mazkur dastada Ehresmann connection (Eresman bogʻlanishi), demak, parallel koʻchirish tushunchasini aniqlaydi. Kartan sharti $a$ ajratilgan kesim parallel koʻchirishda doimo siljishini taʼminlaydi.

Boshqa xossalari

Egrilik va torsiya

Egrilik (curvature) va torsiya (torsion) affin bogʻlanishning asosiy invariantlari hisoblanadi. Affin bogʻlanish tushunchasini teng kuchli koʻp usulda taʼriflash mumkin. Shunga koʻra, egrilik va torsiyani ham turli xil yoʻllar bilan taʼriflash mumkin.

Kartan bogʻlanishi (Cartan connection) nuqtayi nazaridan egrilik (curvature) — bu affin bogʻlanish $η$ ning Maurer–Kartan tenglamasini qanoatlantira olmasligidir:

\mathrm {d} \eta +{\tfrac {1}{2}}[\eta \wedge \eta ]=0,

bu yerda chap tomondagi ikkinchi had — wedge product, yaʼni tashqi koʻpaytma. Unda qiymatlarni svertkalash uchun $aff (n)$ dagi Li qavsidan foydalaniladi. $η$ ni $(θ, ω)$ juftlikka yoyamiz va $aff (n)$ Li algebrasining tuzilishini qoʻllaymiz. Shunda chap tomonni ikkita ifodaga ajratish mumkin:

\mathrm {d} \theta +\omega \wedge \theta \quad {\text{and}}\quad \mathrm {d} \omega +\omega \wedge \omega \,,

bu yerda tashqi koʻpaytmalar matritsalarni koʻpaytirish orqali hisoblanadi. Birinchi ifodani bogʻlanishning buralishi (torsion) deb ataymiz, ikkinchisini esa egrilik deb ataymiz.

Bu ifodalar reperlar bandlamining (frame bundle) toʻla fazosidagi differensial 2-formalardir. Ammo ular gorizontal va ekvivariant, shuning uchun tenzor obyektlarni aniqlaydi. Ularni $T M$ dagi induksiyalangan kovariant hosila $\nabla$ yordamida bevosita quyidagicha taʼriflash mumkin.

Buralish quyidagi formula bilan beriladi:

T^{\nabla }(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y].

Agar buralish nolga aylansa, bogʻlanishni buralishsiz yoki simmetrik deb ataymiz.

Egrilik quyidagi formula bilan beriladi:

R_{X,Y}^{\nabla }Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z.

Shuni eʼtiborga oling: $[X, Y]$ — bu Lie bracket of vector fields, yaʼni vektor maydonlarining Li qavsi:

[X,Y]=\left(X^{j}\partial _{j}Y^{i}-Y^{j}\partial _{j}X^{i}\right)\partial _{i}

Bu ifoda Einstein notation da yozilgan. U koordinatalar sistemasi tanloviga bogʻliq emas, hamda

\partial _{i}=\left({\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}\right)_{p}\,,

$i$ -chi coordinate curve ning $p$ nuqtasidagi urinma vektoridir. $\partial i$ lar $p$ nuqtadagi urinma fazoning tabiiy bazisi boʻladi, $X i$ lar esa $X = X i \partial i$ vektor maydonining mos koordinatalaridir.

Egrilik ham, buralish ham nolga aylanganda, bogʻlanish urinma bandlamaning global kesimlari fazosida pre-Lie algebra tuzilmasini aniqlaydi.

Levi-Civita bogʻlanishi

Agar $(M, g)$ Riemannian manifold boʻlsa, $M$ ustida quyidagi ikki xossaga ega yagona affin bogʻlanish (affine connection) $\nabla$ mavjud boʻladi:

bogʻlanish burilishsiz (torsion-free), yaʼni $T \nabla$ nolga teng, shu sababli $\nabla X Y - \nabla Y X = [X, Y]$ ;
parallel koʻchirish (parallel transport) — izometriya, yaʼni u urinma vektorlar orasidagi skalyar koʻpaytmalarni (ular $g$ yordamida aniqlanadi) saqlaydi.

Bu bogʻlanishni Levi-Civita connection deb ataladi.

Birinchi xossa uchun «burilishsiz» oʻrniga koʻpincha «simmetrik» atamasi ishlatiladi. Ikkinchi shart esa bogʻlanishning metric connection ekanini bildiradi: bunda Riman metrikasi $g$ parallel boʻladi, yaʼni $\nabla g = 0$ . Burilishsiz bogʻlanish uchun bu shart $X g (Y, Z)$ = $g (\nabla X Y, Z)$ + $g (Y, \nabla X Z)$ ayniyatiga, yaʼni «metrika bilan moslik»ka teng kuchli.^[11] Lokal koordinatalarda bu formaning komponentlarini Christoffel symbols deb ataladi. Levi-Civita bogʻlanishi yagona boʻlgani uchun bu komponentlarni $g$ komponentlari orqali ifodalovchi formula mavjud.

Geodezik chiziqlar

Toʻgʻri chiziq tushunchasi affin geometriyaga tegishli. Shuning uchun affin bogʻlanishlar istalgan affin koʻpxillikda (parametrlangan) toʻgʻri chiziqlarning umumlashgan tushunchasini beradi. Bunday chiziqlar affin geodezik chiziqlar (affine geodesics) deb ataladi. Umumiy holda, $γ : I \to M$ parametrik egri chizigʻi toʻgʻri chiziq boʻladi, agar uning urinma vektori $γ$ boʻylab koʻchirilganda oʻziga parallel qolsa. Yaʼni $γ : I \to M$ silliq egri chizigʻi affin geodezik boʻladi, agar ${\dot {\gamma }}$ $γ$ boʻylab masshtablash aniqligida parallel koʻchirilsa, yaʼni

\tau _{t}^{s}{\dot {\gamma }}(s)=k(t){\dot {\gamma }}(t)

bu yerda $τ : T γ s M \to T γ t M$ — bogʻlanishni aniqlovchi parallel koʻchirish akslantirishi, $k(t)$ esa qandaydir silliq va musbat qiymatli funksiya.

Infinitezimal bogʻlanish $\nabla$ tilida bu tenglamaning hosilasi quyidagini beradi:

\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=s(t){\dot {\gamma }}(t)

bu munosabat barcha $t \in I$ uchun va qandaydir silliq $s$ funksiyasi uchun oʻrinli.

Bu yerda yoy uzunligi boʻyicha parametrlash mavjud emas, chunki urinma vektorlar endi uzunlikka ega emas. Lekin kollinear urinma vektorlar orasidagi nisbat baribir aniq maʼnoga ega. Shu sabab biz affin parametrlashni taʼriflay olamiz: ${\dot {\gamma }}$ $γ$ boʻylab aynan parallel koʻchiriladi: $\tau _{t}^{s}{\dot {\gamma }}(s)={\dot {\gamma }}(t),\quad \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=0$ Yaʼni urinma vektorlar geodezik chiziq boʻylab parallel va ekvipollent boʻladi.

Affin parametrlash $γ (t) \to γ (at + b)$ koʻrinishidagi affin qayta parametrlash aniqligida yagonadir; bu yerda $a$ va $b$ — oʻzgarmas sonlar.

Har bir $x \in M$ va har bir $X \in T x M$ uchun $γ (0) = x$ hamda $γ̇ (0) = X$ shartlarni qanoatlantiruvchi yagona $γ : I \to M$ affin geodezik chiziq mavjud. Bu yerda $I$ — $R$ ichidagi, 0 nuqtani oʻz ichiga olgan va geodezik chiziq aniqlangan eng katta ochiq oraliq. Bu xulosa Picard–Lindelöf theorem teoremasidan kelib chiqadi. U affin bogʻlanishga mos eksponensial akslantirishni aniqlash imkonini ham beradi. Xususan, $M$ (psevdo-)Riemannian manifold boʻlib, $\nabla$ esa Levi-Civita connection boʻlsa, affin geodezik chiziqlar Riman geometriyasidagi odatdagi geodesic chiziqlarga aylanadi. Ular lokal maʼnoda masofani eng kichik qiluvchi egri chiziqlardir.

Parametrlanmagan geodezik chiziqlarni koʻpincha proyektiv differensial geometriya nuqtayi nazaridan oʻrganadilar. Bu yondashuvda hatto urinma vektorlar orasidagi nisbat ham aniq maʼnoga ega boʻlmaydi, ammo toʻgʻrilik tushunchasi oʻz maʼnosini saqlaydi.

Yoyilma

Affin bogʻlanish egri chiziqlarning yoyilmasi (development) tushunchasini aniqlaydi. Koʻrgazmali qilib aytganda, agar $x t$ $M$ dagi egri chiziq boʻlsa, $x 0$ nuqtadagi affin urinma fazoni shu chiziq boʻylab dumalatish mumkin. Dumalash chogʻida urinma fazo bilan koʻpxillik orasidagi belgilangan urinish nuqtasi shu affin fazoda $C t$ egri chiziqni chizadi. Ana shu chiziq $x t$ ning yoyilmasi boʻladi.

Qatʼiy tilda aytganda, $τ : T x t M \to T x 0 M$ affin bogʻlanishga mos chiziqli parallel koʻchirish akslantirishi boʻlsin. U holda $C t$ yoyilma $T x 0 M$ dagi shunday egri chiziqki, u 0 nuqtadan boshlanadi. Bundan tashqari, u har bir $t$ payt uchun $x t$ ning urinmasiga parallel boʻladi:

{\dot {C}}_{t}=\tau _{t}^{0}{\dot {x}}_{t}\,,\quad C_{0}=0.

Xususan, $x t$ ning geodezik chiziq boʻlishi uchun uning yoyilmasi $T x 0 M$ dagi affin parametrlangan toʻgʻri chiziq boʻlishi zarur va yetarli.^[12]

Sirtlar nazariyasiga qaytish

Agar $M$ $R 3$ dagi sirt boʻlsa, $M$ tabiiy affin bogʻlanishga ega ekanini koʻrish oson. Chiziqli bogʻlanish nuqtayi nazaridan vektor maydonining kovariant hosilasini shunday aniqlaymiz: avval vektor maydonini $M$ dan $R 3$ ga akslantirish deb qarab differensiallaymiz. Soʻngra natijani $M$ ning urinma fazolariga ortogonal ravishda proyeksiyalaymiz. Bu affin bogʻlanishning torsiyasiz (torsion-free) ekanini koʻrish qiyin emas. Bundan tashqari, u $R 3$ dagi skalyar koʻpaytma $M$ da hosil qilgan Riman metrikasiga nisbatan metrik bogʻlanishdir. Demak, u shu metrikaning Levi-Chivita bogʻlanishi hisoblanadi.

Misol: Yevklid fazosidagi birlik sfera

$⟨ , ⟩$ $R 3$ dagi odatiy scalar product boʻlsin, $S 2$ esa birlik sfera boʻlsin. $S 2$ ning $x$ nuqtasidagi urinma fazo (tangent space) tabiiy ravishda $R 3$ ning bir qism fazosi bilan aynanlashadi. Bu qism fazo $x$ ga ortogonal boʻlgan barcha vektorlardan iborat. Demak, $S 2$ dagi $Y$ vektor maydonini (vector field) quyidagi shartni qanoatlantiruvchi $Y : S 2 \to R 3$ akslantirish sifatida qarash mumkin:

\langle Y_{x},x\rangle =0\,,\quad \forall x\in \mathbf {S} ^{2}.

Bunday akslantirishning differensialini (Yakobi matritsasini) $d Y$ bilan belgilaymiz. U holda quyidagiga ega boʻlamiz:

Lemma. Quyidagi formula

(\nabla _{Z}Y)_{x}=\mathrm {d} Y_{x}(Z_{x})+\langle Z_{x},Y_{x}\rangle x

S 2

da buralishi (torsion) nolga teng boʻlgan affin bogʻlanishni (affine connection) aniqlaydi.

Isbot.

\nabla

ning Leybnits ayniyatini qanoatlantirishini va birinchi oʻzgaruvchi boʻyicha

C \infty (S 2)

chiziqli ekanini isbotlash oson. Shu sababli bu yerda faqat bitta narsani koʻrsatish qoladi: yuqoridagi akslantirish haqiqatan ham urinma vektor maydonini aniqlaydi. Yaʼni

S 2

dagi barcha

x

uchun quyidagini isbotlashimiz lozim:

{\bigl \langle }(\nabla _{Z}Y)_{x},x{\bigr \rangle }=0\,.\qquad {\text{(Eq.1)}}

Quyidagi akslantirishni qaraymiz:

{\begin{aligned}f:\mathbf {S} ^{2}&\to \mathbf {R} \\x&\mapsto \langle Y_{x},x\rangle \,.\end{aligned}}

f akslantirish oʻzgarmasdir, shuning uchun uning differensiali nolga aylanadi. Xususan,

\mathrm {d} f_{x}(Z_{x})={\bigl \langle }(\mathrm {d} Y)_{x}(Z_{x}),x(\gamma '(t)){\bigr \rangle }+\langle Y_{x},Z_{x}\rangle =0\,.

Bundan yuqoridagi 1-tenglama kelib chiqadi. Q.E.D.

Yana qarang

Izohlar

↑ a linear connection is also frequently called affine connection or simply connection,^[1] So that there is no agreement on the precise definitions of these terms (John M. Lee simply calls it connection).^[2]
↑ Cartan explains that he has borrowed this term (i.e. "affine connection") from the H. Weyl's book and referred to it (Space-Time-Matter), although he used it in more general context.^[4]
↑ As a result, many mathematicians use the term linear connection (instead of affine connection) for a connection on the tangent bundle, on the grounds that parallel transport is linear and not affine. However, the same property holds for any (Koszul or linear Ehresmann) connection on a vector bundle. Originally the term affine connection is short for an affine connection in the sense of Cartan, and this implies that the connection is defined on the tangent bundle, rather than an arbitrary vector bundle. The notion of a linear Cartan connection does not really make much sense, because linear representations are not transitive.
↑ It is difficult to make Cartan's intuition precise without invoking smooth infinitesimal analysis, but one way is to regard his points being variable, that is maps from some unseen parameter space into the manifold, which can then be differentiated.
↑ Classically, the tangent space was viewed as an infinitesimal approximation, while in modern differential geometry, tangent spaces are often defined in terms of differential objects such as derivations.^[8]
↑ This can be viewed as a choice of origin: actually it suffices to consider only the case $p = a x$ ; Cartan implicitly identifies this with $x$ in $M$ .

Iqtiboslar

↑ Lee 1997, s. 51.
↑ Lee 2018, s. 91.
↑ Lee 2018, s. 88, Connections.
↑ Akivis & Rosenfeld 1993, s. 213.
↑ Weyl 1918, 5 editions to 1922.
↑ Cartan 1923.
↑ Cartan 1926.
↑ Kobayashi & Nomizu 1996, Volume 1, sections 1.1–1.2
↑ For details, see Lumiste (2001b). The following intuitive treatment is that of Cartan (1923) and Cartan (1926).
↑ Cf. R. Hermann (1983), Appendix 1–3 to Cartan (1951), and also Sharpe (1997).
↑ Kobayashi & Nomizu 1996, s. 160, Vol. I
↑ This treatment of development is from Kobayashi & Nomizu (1996, Volume 1, Proposition III.3.1); see section III.3 for a more geometrical treatment. See also Sharpe (1997) for a thorough discussion of development in other geometrical situations.

Manbalar

Akivis, M. A.; Rosenfeld, Boris. Élie Cartan (1869–1951). AMS, 1993. ISBN 978-0-8218-5355-9.
Andoza:Lee Riemannian Manifolds An Introduction to Curvature
Lee, John M.. Introduction to Riemannian Manifolds, 2nd, Graduate Texts in Mathematics, Springer Verlag, 2018. DOI:10.1007/978-3-319-91755-9. ISBN 978-3-319-91755-9.

Adabiyotlar

Asosiy tarixiy manbalar

Christoffel, Elwin Bruno (1869), „Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades“, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1869 (70): 46–70, doi:10.1515/crll.1869.70.46, S2CID 122999847
Levi-Civita, Tullio (1917), „Nozione di parallelismo in una varietà qualunque e conseguente specificazione geometrica della curvatura Riemanniana“, Rend. Circ. Mat. Palermo, 42: 173–205, doi:10.1007/bf03014898, S2CID 122088291
Cartan, Élie (1923), „Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie)“, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 40: 325–412, doi:10.24033/asens.751
Cartan, Élie (1924), „Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie) (Suite)“, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 41: 1–25, doi:10.24033/asens.753
Cartan, Élie (1986), On Manifolds with Affine Connection and the Theory of General Relativity, Humanities Press

Kartanning affin bogʻlanishlar haqidagi tadqiqoti nisbiylik nazariyasini oʻrganish asosida shakllangan. Unda sanoq sistemalari fizikasi batafsil muhokama qilinadi. Shuningdek, bogʻlanish dunyo chizigʻi boʻylab koʻchirishning fizik tushunchasini qanday aks ettirishi koʻrsatiladi.

Cartan, Élie (1926), „Espaces à connexion affine, projective et conforme“, Acta Math., 48: 1–42, doi:10.1007/BF02629755

Affin bogʻlanishlarning koʻproq matematik nuqtayi nazardan yoritilishi.

Cartan, Élie (1951), with appendices by Robert Hermann (muh.), Geometry of Riemannian Spaces (translation by James Glazebrook of Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann, 2nd-nashr), Math Sci Press, Massachusetts (1983da chop etilgan), ISBN 978-0-915692-34-7.

Affin bogʻlanishlarga Riman geometriyasi nuqtayi nazaridan qaraladi. Robert Hermanning ilovalarida sirtlar nazariyasidan kelib chiqqan asoslar muhokama qilinadi. Shuningdek, Koszul maʼnosidagi zamonaviy affin bogʻlanish tushunchasi ham koʻrib chiqiladi. Muallif ∇ differensial operatorining asosiy xossalarini rivojlantiradi va ularni Kartan maʼnosidagi klassik affin bogʻlanishlar bilan bogʻlaydi.

Weyl, Hermann (1918), Raum, Zeit, Materie (5 editions to 1922, with notes by Jürgen Ehlers (1980), translated 4th edition Space, Time, Matter by Henry Brose, 1922 (Methuen, reprinted 1952 by Dover)-nashr), Springer, Berlin, ISBN 0-486-60267-2

Ikkilamchi manbalar

Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, Vols. 1 & 2 (New-nashr), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3.

Bu maqoladagi texnik tafsilotlar uchun asosiy manba hisoblanadi. 1-jild, III bobda affin bogʻlanishlar koʻpxillikdagi asosiy rassalar nuqtayi nazaridan batafsil yoritiladi. Unda parallel koʻchirish, yoyish, geodezik chiziqlar va tegishli differensial operatorlar ham koʻrib chiqiladi. 1-jildning VI bobi affin almashtirishlar, buralish va affin geodeziyasining umumiy nazariyasiga bagʻishlangan. 2-jildda esa affin bogʻlanishlarning bir jinsli fazolar va kompleks koʻpxilliklarga, shuningdek boshqa turli mavzularga tatbiqlari keltiriladi.

Lumiste, Ülo (2001a) [1994], „Affine connection“, in Hazewinkel, Michiel (muh.), Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, ISBN 978-1-55608-010-4.
Lumiste, Ülo (2001b) [1994], „Connections on a manifold“, in Hazewinkel, Michiel (muh.), Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, ISBN 978-1-55608-010-4.

Lumistening ikki maqolasi. Ularda parallel koʻchirish akslantirishlari affin bogʻlanishni aniqlashi uchun zarur boʻlgan aniq shartlar berilgan. Muallif egrilik, buralish va boshqa odatiy mavzularni klassik (asosiy rassaga asoslanmagan) nuqtayi nazardan bayon qiladi.

Sharpe, R.W. (1997), Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-94732-9.

Bu asar ayrim tarixiy tafsilotlarni toʻldiradi hamda Kartan bogʻlanishlari haqida oʻquvchi uchun qulay, sodda bayon beradi. A ilovasi asosiy bogʻlanish va absolyut parallellik qarashlari orasidagi munosabatni oydinlashtiradi. B ilovasi esa affin bogʻlanishlarning klassik «dumalatish» modeli bilan asosiy rassalar va differensial operatorlarga asoslangan zamonaviy modeli oʻrtasidagi koʻprik vazifasini bajaradi.

Andoza:Manifolds Andoza:Tensors

Manba

Ushbu maqola Vikipediyaning en.wikipedia.org ulanishidan avtomatik tarjima orqali olingan (CC BY-SA 4.0).

[3] linear connection is also frequently called affine connection or simply connection,^[1] So that there is no agreement on the precise definitions of these terms (John M. Lee simply calls it connection).^[2]

[6] Cartan explains that he has borrowed this term (i.e. "affine connection") from the H. Weyl's book and referred to it (Space-Time-Matter), although he used it in more general context.^[4]

[9] As a result, many mathematicians use the term linear connection (instead of affine connection) for a connection on the tangent bundle, on the grounds that parallel transport is linear and not affine. However, the same property holds for any (Koszul or linear Ehresmann) connection on a vector bundle. Originally the term affine connection is short for an affine connection in the sense of Cartan, and this implies that the connection is defined on the tangent bundle, rather than an arbitrary vector bundle. The notion of a linear Cartan connection does not really make much sense, because linear representations are not transitive.

[11] It is difficult to make Cartan's intuition precise without invoking smooth infinitesimal analysis, but one way is to regard his points being variable, that is maps from some unseen parameter space into the manifold, which can then be differentiated.

[13] Classically, the tangent space was viewed as an infinitesimal approximation, while in modern differential geometry, tangent spaces are often defined in terms of differential objects such as derivations.^[8]

[15] This can be viewed as a choice of origin: actually it suffices to consider only the case $p = a x$ ; Cartan implicitly identifies this with $x$ in $M$ .

[FOOTNOTELee199751-1] Lee 1997, s. 51.

[FOOTNOTELee201891-2] Lee 2018, s. 91.

[FOOTNOTELee201888Connections-4] Lee 2018, s. 88, Connections.

[FOOTNOTEAkivisRosenfeld1993213-5] Akivis & Rosenfeld 1993, s. 213.

[7] Weyl 1918, 5 editions to 1922.

[Cartan-affine-8] Cartan 1923.

[10] Cartan 1926.

[12] Kobayashi & Nomizu 1996, Volume 1, sections 1.1–1.2

[14] For details, see Lumiste (2001b). The following intuitive treatment is that of Cartan (1923) and Cartan (1926).

[16] Cf. R. Hermann (1983), Appendix 1–3 to Cartan (1951), and also Sharpe (1997).

[17] Kobayashi & Nomizu 1996, s. 160, Vol. I

[18] This treatment of development is from Kobayashi & Nomizu (1996, Volume 1, Proposition III.3.1); see section III.3 for a more geometrical treatment. See also Sharpe (1997) for a thorough discussion of development in other geometrical situations.

[a]

[3]

[b]

[5]

[6]

[c]

[7]

[d]

[e]

[9]

[f]

[10]

[11]

[12]

[1]

[2]

[4]

[8]